giải chi tiết toán 12

Câu 1: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x^2 - 7x - 2}{x - 4} \), ta thực hiện phép chia đa thức \( 3x^2 - 7x - 2 \) cho \( x - 4 \). Bước 1: Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} 3x + 5 & 3x^2 - 7x - 2 \\ \hline & 3x^2 - 12x \\ \hline & 5x - 2 \\ & 5x - 20 \\ \hline & 18 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là \( 3x + 5 \) dư \( 18 \). Do đó, ta có: \[ y = \frac{3x^2 - 7x - 2}{x - 4} = 3x + 5 + \frac{18}{x - 4}. \] Bước 2: Xác định đường tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần \( \frac{18}{x - 4} \) tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 3x + 5. \] Bước 3: Xác định các hệ số \( a \) và \( b \): So sánh với dạng tổng quát \( y = ax + b \), ta thấy: \[ a = 3 \quad \text{và} \quad b = 5. \] Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( T = 3a + 8b \): \[ T = 3(3) + 8(5) = 9 + 40 = 49. \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ \boxed{49}. \] Câu 2: Để tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( f(x) = -x^3 + 6x^2 - 3x + 2 \), ta cần xác định điểm \( I(x_0; y_0) \) sao cho đồ thị hàm số đối xứng qua điểm này. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 6x^2 - 3x + 2) = -3x^2 + 12x - 3 \] Bước 2: Tìm điểm cực trị Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 12x - 3 = 0 \] Chia cả hai vế cho \(-3\), ta được: \[ x^2 - 4x + 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \] Vậy hai nghiệm là \( x_1 = 2 + \sqrt{3} \) và \( x_2 = 2 - \sqrt{3} \). Bước 3: Tính tọa độ tâm đối xứng Tọa độ \( x_0 \) của tâm đối xứng là trung điểm của hai nghiệm: \[ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{(2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3})}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Tọa độ \( y_0 \) của tâm đối xứng là giá trị của hàm số tại \( x_0 \): \[ y_0 = f(x_0) = f(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 3(2) + 2 \] \[ = -8 + 24 - 6 + 2 = 12 \] Bước 4: Tính giá trị của \( 3x_0 - 4y_0 \) \[ 3x_0 - 4y_0 = 3(2) - 4(12) = 6 - 48 = -42 \] Vậy giá trị của \( 3x_0 - 4y_0 \) là \(-42\). Câu 3: Để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$: Tích vô hướng của một vectơ với chính nó là bình phương độ dài của vectơ đó. Do đó: \[ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 = 9^2 = 81. \] 2. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$: Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là: \[ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos(\theta), \] trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Với $\theta = 80^\circ$, ta có: \[ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 9 \times 4 \times \cos(80^\circ). \] Sử dụng máy tính để tính $\cos(80^\circ)$: \[ \cos(80^\circ) \approx 0.1736. \] Do đó: \[ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \approx 9 \times 4 \times 0.1736 = 6.2464. \] 3. Tính $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$: Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}. \] Thay các giá trị đã tính được vào: \[ \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = 81 + 6.2464 \approx 87.2464. \] Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: \[ \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \approx 87. \] Vậy, $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \approx 87$. Câu 4: Để tìm vận tốc \( v \) của chất điểm sau 4 giây, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). Hàm quãng đường đã cho là: \[ s(t) = 3t^4 + 7t^3 - 5t^2 - 25 \] Đạo hàm của \( s(t) \) theo \( t \) để tìm hàm vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt} s(t) = \frac{d}{dt} (3t^4 + 7t^3 - 5t^2 - 25) \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ \frac{d}{dt} (3t^4) = 12t^3 \] \[ \frac{d}{dt} (7t^3) = 21t^2 \] \[ \frac{d}{dt} (-5t^2) = -10t \] \[ \frac{d}{dt} (-25) = 0 \] Do đó, hàm vận tốc \( v(t) \) là: \[ v(t) = 12t^3 + 21t^2 - 10t \] Bây giờ, chúng ta thay \( t = 4 \) vào hàm vận tốc để tìm giá trị của \( v \) tại thời điểm 4 giây: \[ v(4) = 12(4)^3 + 21(4)^2 - 10(4) \] Tính toán từng phần: \[ 12(4)^3 = 12 \times 64 = 768 \] \[ 21(4)^2 = 21 \times 16 = 336 \] \[ -10(4) = -40 \] Cộng tất cả lại: \[ v(4) = 768 + 336 - 40 = 1064 \] Vậy, giá trị thực của \( v \) sau 4 giây là: \[ v = 1064 \, \text{cm/s} \] Câu 5: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định kích thước của hộp: - Chiều dài của tấm bìa ban đầu là 12 cm, sau khi cắt đi hai hình vuông cạnh \( x \), chiều dài của đáy hộp là \( 12 - 2x \). - Chiều rộng của tấm bìa ban đầu là 6 cm, sau khi cắt đi hai hình vuông cạnh \( x \), chiều rộng của đáy hộp là \( 6 - 2x \). - Chiều cao của hộp chính là cạnh của hình vuông đã cắt, tức là \( x \). 2. Biểu thức thể tích của hộp: Thể tích \( V \) của hộp là: \[ V = (12 - 2x)(6 - 2x)x \] \[ V = 4x(6-x)(3-x) \] \[ V = 4x(18 - 9x - 6x + x^2) \] \[ V = 4x(x^2 - 15x + 18) \] \[ V = 4x^3 - 60x^2 + 72x \] 3. Tìm giá trị lớn nhất của \( V \): Để tìm giá trị lớn nhất của \( V \), ta tính đạo hàm \( V'(x) \) và giải phương trình \( V'(x) = 0 \). \[ V'(x) = 12x^2 - 120x + 72 \] Giải phương trình \( V'(x) = 0 \): \[ 12x^2 - 120x + 72 = 0 \] Chia cả hai vế cho 12: \[ x^2 - 10x + 6 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 24}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm \sqrt{76}}{2} \] \[ x = \frac{10 \pm 2\sqrt{19}}{2} \] \[ x = 5 \pm \sqrt{19} \] Với điều kiện \( 0 \leq x \leq 3 \), ta chỉ xét nghiệm \( x = 5 - \sqrt{19} \). 4. Kiểm tra giá trị trong khoảng xác định: Tính giá trị gần đúng của \( x = 5 - \sqrt{19} \): \[ \sqrt{19} \approx 4.36 \Rightarrow x \approx 5 - 4.36 = 0.64 \] Giá trị này nằm trong khoảng \( 0 \leq x \leq 3 \). 5. Kết luận: Giá trị của \( x \) để thể tích của hộp là lớn nhất là khoảng \( x \approx 0.64 \) cm. Thể tích lớn nhất đạt được khi \( x \approx 0.64 \) cm.