Giup toooooo Đạo hàm của hàm số $y=\frac{2x^2+2x+3}{x^2+x+3}$ là,$\frac{x+3}{x^2+x+3}.$ $O\frac3{(x^2+x+3)^2}.$,$\frac{6x+3}{(x^2+x+3)^2}.$ $2-\frac3{x^2+x+3}.$

Question

Accepted Answer

Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = \frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2 + x + 3} $, ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số.

Công thức đạo hàm của thương hai hàm số $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $ là:
$$ y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $$

Trong đó:
- $ u(x) = 2x^2 + 2x + 3 $
- $ v(x) = x^2 + x + 3 $

Bước 1: Tính đạo hàm của $ u(x) $:
$$ u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 + 2x + 3) = 4x + 2 $$

Bước 2: Tính đạo hàm của $ v(x) $:
$$ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + x + 3) = 2x + 1 $$

Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ y' = \frac{(4x + 2)(x^2 + x + 3) - (2x^2 + 2x + 3)(2x + 1)}{(x^2 + x + 3)^2} $$

Bước 4: Thực hiện phép nhân và trừ:
$$ (4x + 2)(x^2 + x + 3) = 4x^3 + 4x^2 + 12x + 2x^2 + 2x + 6 = 4x^3 + 6x^2 + 14x + 6 $$
$$ (2x^2 + 2x + 3)(2x + 1) = 4x^3 + 2x^2 + 4x^2 + 2x + 6x + 3 = 4x^3 + 6x^2 + 8x + 3 $$

Bước 5: Tính hiệu:
$$ 4x^3 + 6x^2 + 14x + 6 - (4x^3 + 6x^2 + 8x + 3) = 4x^3 + 6x^2 + 14x + 6 - 4x^3 - 6x^2 - 8x - 3 = 6x + 3 $$

Bước 6: Viết kết quả cuối cùng:
$$ y' = \frac{6x + 3}{(x^2 + x + 3)^2} $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{\frac{6x + 3}{(x^2 + x + 3)^2}} $$