giải giúp mik câu này với $\cos x-\sin x+\frac{\cos x-\sin x}{(\cos x+3).(\sin x+3)}+2.\log\frac{\cos x+3}{\sin x+3}=0.$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $\cos x - \sin x + \frac{\cos x - \sin x}{(\cos x + 3)(\sin x + 3)} + 2 \log \frac{\cos x + 3}{\sin x + 3} = 0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- $(\cos x + 3) > 0$ luôn đúng vì $\cos x \geq -1$.
- $(\sin x + 3) > 0$ luôn đúng vì $\sin x \geq -1$.
- $\frac{\cos x + 3}{\sin x + 3} > 0$ luôn đúng vì cả tử và mẫu đều dương.

Bước 2: Đặt $t = \cos x - \sin x$. Ta có:
$$ t + \frac{t}{(\cos x + 3)(\sin x + 3)} + 2 \log \frac{\cos x + 3}{\sin x + 3} = 0 $$

Bước 3: Nhân cả hai vế với $(\cos x + 3)(\sin x + 3)$ để loại bỏ mẫu số:
$$ t (\cos x + 3)(\sin x + 3) + t + 2 (\cos x + 3)(\sin x + 3) \log \frac{\cos x + 3}{\sin x + 3} = 0 $$

Bước 4: Gọi $u = \frac{\cos x + 3}{\sin x + 3}$. Ta có:
$$ t (\cos x + 3)(\sin x + 3) + t + 2 (\cos x + 3)(\sin x + 3) \log u = 0 $$

Bước 5: Thay $u = \frac{\cos x + 3}{\sin x + 3}$ vào phương trình:
$$ t (\cos x + 3)(\sin x + 3) + t + 2 (\cos x + 3)(\sin x + 3) \log u = 0 $$

Bước 6: Chia cả hai vế cho $(\cos x + 3)(\sin x + 3)$:
$$ t + \frac{t}{(\cos x + 3)(\sin x + 3)} + 2 \log u = 0 $$

Bước 7: Thay lại $t = \cos x - \sin x$ và $u = \frac{\cos x + 3}{\sin x + 3}$:
$$ \cos x - \sin x + \frac{\cos x - \sin x}{(\cos x + 3)(\sin x + 3)} + 2 \log \frac{\cos x + 3}{\sin x + 3} = 0 $$

Bước 8: Nhận thấy rằng phương trình này có dạng phức tạp, ta thử thay $\cos x = \sin x$:
$$ \cos x = \sin x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$

Bước 9: Kiểm tra lại:
$$ \cos \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) + \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right)}{\left( \cos \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) + 3 \right) \left( \sin \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) + 3 \right)} + 2 \log \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) + 3}{\sin \left( \frac{\pi}{4} + k\pi \right) + 3} = 0 $$

Kết luận: Phương trình có nghiệm là $x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Đáp số: $x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.