Biệhehhehe Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km, trạm kiểm soát,không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ $A(25;-10;1)$ và bay theo hướng,vectơ $\overrightarrow{v_1}=(-3;-4;0)$ với tốc độ không đổi là 750 km/h. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ $B(30;-25;1,1)$ và,bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_2}=(-4;3;0)$ với tốc độ không đổi là 900 km/h. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar,tránh va chạm với bán kính hoạt động là 50km. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của,radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?,Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD, trong đó đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=6,~AD=10.$ Hình chiếu của,S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của đáy ABCD và chiều cao của hình chóp là $\sqrt5.$ Tính góc,nhị diện $[A,SB,C]$ (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị đo bằng độ).,Câu 6. Một công ty muốn đầu tư vào hệ thống điện mặt trời có công suất x (đơn vị tính: MW). Theo nghiên,cứu cho thấy một số thông tin sau: Chi phí đầu tư ban đầu là $C_1(x)=1400+55x$ (tỷ đồng). Doanh thu hàng,năm là $R(x)=28x-0,15x^2$ (tỷ đồng/năm). Chi phí vận hành hàng năm là $C_2(x)=12+0,35x+0,012x^2~(tỷ$,đồng/năm). Hãy tìm công suất x (làm tròn đến hàng đơn vị) để tối đa hóa lợi nhuận trên đầu tư, được tính là,tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu.,----- HẾT-----

Question

Accepted Answer

{"userId":5359153,"userName":"Apple_RFIDPsZartZR4Cpt6lVzVjLVABw1"}

Mời bạn tham khảo:

Câu 4

Gọi $P_1(t)$ và $P_2(t)$ lần lượt là vị trí của máy bay thứ nhất và máy bay thứ hai tại thời điểm $t$ (tính bằng giờ).

Đơn vị trong hệ tọa độ là 10 km.

Tốc độ máy bay thứ nhất: $s_1 = 750$ km/h $= 75$ đơn vị/h.

Vecto vận tốc máy bay thứ nhất: $\vec{u_1} = s_1 \frac{\vec{v_1}}{|\vec{v_1}|} = 75 \frac{(-3, -4, 0)}{\sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + 0^2}} = 75 \frac{(-3, -4, 0)}{5} = 15(-3, -4, 0) = (-45, -60, 0)$.

Vị trí máy bay thứ nhất tại thời điểm $t$: $P_1(t) = A + t\vec{u_1} = (25, -10, 1) + t(-45, -60, 0) = (25 - 45t, -10 - 60t, 1)$.

Tốc độ máy bay thứ hai: $s_2 = 900$ km/h $= 90$ đơn vị/h.

Vecto vận tốc máy bay thứ hai: $\vec{u_2} = s_2 \frac{\vec{v_2}}{|\vec{v_2}|} = 90 \frac{(-4, 3, 0)}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2}} = 90 \frac{(-4, 3, 0)}{5} = 18(-4, 3, 0) = (-72, 54, 0)$.

Vị trí máy bay thứ hai tại thời điểm $t$: $P_2(t) = B + t\vec{u_2} = (30, -25, 1.1) + t(-72, 54, 0) = (30 - 72t, -25 + 54t, 1.1)$.

Vecto nối hai máy bay tại thời điểm $t$: $\vec{P_1P_2}(t) = P_2(t) - P_1(t) = ( (30 - 72t) - (25 - 45t), (-25 + 54t) - (-10 - 60t), 1.1 - 1 )$

$\vec{P_1P_2}(t) = (5 - 27t, -15 + 114t, 0.1)$.

Bình phương khoảng cách giữa hai máy bay tại thời điểm $t$:

$D(t)^2 = |\vec{P_1P_2}(t)|^2 = (5 - 27t)^2 + (-15 + 114t)^2 + (0.1)^2$

$D(t)^2 = (25 - 270t + 729t^2) + (225 - 3420t + 12996t^2) + 0.01$

$D(t)^2 = 13725t^2 - 3690t + 250.01$.

Máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình radar của máy bay thứ nhất khi khoảng cách giữa chúng bằng bán kính hoạt động của radar.

Bán kính radar: 50 km = 5 đơn vị.

Ta cần tìm thời điểm $t > 0$ sao cho $D(t) = 5$, hay $D(t)^2 = 5^2 = 25$.

$13725t^2 - 3690t + 250.01 = 25$

$13725t^2 - 3690t + 225.01 = 0$.

Giải phương trình bậc hai $at^2 + bt + c = 0$ với $a = 13725$, $b = -3690$, $c = 225.01$.

$\Delta = b^2 - 4ac = (-3690)^2 - 4(13725)(225.01) = 13616100 - 12353049 = 1263051$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1263051} \approx 1123.8554$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3690 \pm 1123.8554}{2(13725)} = \frac{3690 \pm 1123.8554}{27450}$.

$t_1 = \frac{3690 - 1123.8554}{27450} \approx \frac{2566.1446}{27450} \approx 0.093486$ giờ.

$t_2 = \frac{3690 + 1123.8554}{27450} \approx \frac{4813.8554}{27450} \approx 0.175368$ giờ.

Khoảng cách ban đầu $D(0) = \sqrt{250.01} \approx 15.81$ đơn vị > 5. Máy bay thứ hai xuất hiện trên radar khi khoảng cách giảm xuống bằng 5 lần đầu tiên, tức là tại thời điểm $t = t_1$.

$t \approx 0.093486$ giờ.

Đổi sang phút: $t \approx 0.093486 imes 60 \approx 5.60916$ phút.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: $5.61$ phút.

Vậy thời gian để máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình radar của máy bay thứ nhất là khoảng $5.61$ phút.

Câu 5

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc O là tâm của hình chữ nhật ABCD, trục Ox song song với AB, trục Oy song song với AD, trục Oz vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Vì AB = 6, AD = 10 nên tọa độ các đỉnh đáy là:

$A(-3, -5, 0)$, $B(3, -5, 0)$, $C(3, 5, 0)$, $D(-3, 5, 0)$.

Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của đáy, và chiều cao hình chóp là $h = \sqrt{5}$, nên tọa độ đỉnh S là $S(0, 0, \sqrt{5})$.

Góc nhị diện $[A, SB, C]$ là góc giữa hai mặt phẳng (ASB) và (CSB). Đường giao tuyến là SB.

Ta tìm vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng này.

Mặt phẳng (ASB) đi qua A, S, B.

$\vec{SA} = (-3, -5, -\sqrt{5})$

$\vec{SB} = (3, -5, -\sqrt{5})$

Vecto pháp tuyến của (ASB): $\vec{n_1} = \vec{SA} imes \vec{SB} = ((-5)(-\sqrt{5}) - (-\sqrt{5})(-5), (-\sqrt{5})(3) - (-3)(-\sqrt{5}), (-3)(-5) - (-5)(3))$

$\vec{n_1} = (5\sqrt{5} - 5\sqrt{5}, -3\sqrt{5} - 3\sqrt{5}, 15 + 15) = (0, -6\sqrt{5}, 30)$. Chọn $\vec{n_1'} = (0, -\sqrt{5}, 5)$.

Mặt phẳng (CSB) đi qua C, S, B.

$\vec{SC} = (3, 5, -\sqrt{5})$

$\vec{SB} = (3, -5, -\sqrt{5})$

Vecto pháp tuyến của (CSB): $\vec{n_2} = \vec{SC} imes \vec{SB} = ((5)(-\sqrt{5}) - (-\sqrt{5})(-5), (-\sqrt{5})(3) - (3)(-\sqrt{5}), (3)(-5) - (5)(3))$

$\vec{n_2} = (-5\sqrt{5} - 5\sqrt{5}, -3\sqrt{5} + 3\sqrt{5}, -15 - 15) = (-10\sqrt{5}, 0, -30)$. Chọn $\vec{n_2'} = (\sqrt{5}, 0, 3)$ (chia $\vec{n_2}$ cho -10).

Gọi $\phi$ là góc giữa hai vecto pháp tuyến $\vec{n_1} = (0, -6\sqrt{5}, 30)$ và $\vec{n_2} = (-10\sqrt{5}, 0, -30)$.

$\cos \phi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{(0)(-10\sqrt{5}) + (-6\sqrt{5})(0) + (30)(-30)}{\sqrt{0^2 + (-6\sqrt{5})^2 + 30^2} \sqrt{(-10\sqrt{5})^2 + 0^2 + (-30)^2}}$

$\cos \phi = \frac{-900}{\sqrt{0 + 180 + 900} \sqrt{500 + 0 + 900}} = \frac{-900}{\sqrt{1080} \sqrt{1400}}$

$\cos \phi = \frac{-900}{\sqrt{1080 imes 1400}} = \frac{-900}{\sqrt{1512000}} = \frac{-900}{\sqrt{3600 imes 420}} = \frac{-900}{60\sqrt{420}}$

$\cos \phi = \frac{-15}{\sqrt{420}} = \frac{-15}{2\sqrt{105}} = \frac{-15\sqrt{105}}{2 imes 105} = \frac{-15\sqrt{105}}{210} = -\frac{\sqrt{105}}{14}$.

$\phi = \arccos\left(-\frac{\sqrt{105}}{14} ight) \approx 137.05^\circ$.

Góc nhị diện $ heta$ là góc giữa hai mặt phẳng. Thông thường lấy góc không tù.

Kiểm tra hướng của vecto pháp tuyến:

Phương trình mặt phẳng (ASB) dùng $\vec{n_1}$: $0(x-0) - 6\sqrt{5}(y-0) + 30(z-\sqrt{5}) = 0 \Rightarrow -6\sqrt{5}y + 30z - 30\sqrt{5} = 0$. Điểm C(3, 5, 0) thay vào: $-6\sqrt{5}(5) + 30(0) - 30\sqrt{5} = -30\sqrt{5} - 30\sqrt{5} = -60\sqrt{5} < 0$.

Phương trình mặt phẳng (CSB) dùng $\vec{n_2}$: $-10\sqrt{5}(x-0) + 0(y-0) - 30(z-\sqrt{5}) = 0 \Rightarrow -10\sqrt{5}x - 30z + 30\sqrt{5} = 0$. Điểm A(-3, -5, 0) thay vào: $-10\sqrt{5}(-3) - 30(0) + 30\sqrt{5} = 30\sqrt{5} + 30\sqrt{5} = 60\sqrt{5} > 0$.

Các vecto pháp tuyến $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ hướng ra phía ngoài khối chóp so với các mặt tương ứng. Góc giữa hai mặt phẳng (góc nhị diện) là $180^\circ - \phi$.

$ heta = 180^\circ - \phi \approx 180^\circ - 137.05^\circ = 42.95^\circ$.

Làm tròn đến hàng đơn vị (độ): $43^\circ$.

Vậy góc nhị diện $[A, SB, C]$ là $43^\circ$.

Câu 6

Chi phí đầu tư ban đầu: $C_1(x) = 1400 + 55x$.

Doanh thu hàng năm: $R(x) = 28x - 0.15x^2$.

Chi phí vận hành hàng năm: $C_2(x) = 12 + 0.35x + 0.012x^2$.

Lợi nhuận hàng năm: $P(x) = R(x) - C_2(x) = (28x - 0.15x^2) - (12 + 0.35x + 0.012x^2)$

$P(x) = -0.162x^2 + 27.65x - 12$.

Tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu (tỷ suất lợi nhuận):

$ROI(x) = \frac{P(x)}{C_1(x)} = \frac{-0.162x^2 + 27.65x - 12}{1400 + 55x}$.

Để tối đa hóa $ROI(x)$, ta tìm $x > 0$ sao cho $ROI'(x) = 0$.

$ROI'(x) = \frac{P'(x)C_1(x) - P(x)C_1'(x)}{[C_1(x)]^2}$.

$P'(x) = -0.324x + 27.65$.

$C_1'(x) = 55$.

$ROI'(x) = 0 \Leftrightarrow P'(x)C_1(x) - P(x)C_1'(x) = 0$ (với $C_1(x) > 0$).

$(-0.324x + 27.65)(1400 + 55x) - (-0.162x^2 + 27.65x - 12)(55) = 0$.

$(-453.6x - 17.82x^2 + 38710 + 1520.75x) - (-8.91x^2 + 1520.75x - 660) = 0$.

$-17.82x^2 + 1067.15x + 38710 + 8.91x^2 - 1520.75x + 660 = 0$.

$(-17.82 + 8.91)x^2 + (1067.15 - 1520.75)x + (38710 + 660) = 0$.

$-8.91x^2 - 453.6x + 39370 = 0$.

$8.91x^2 + 453.6x - 39370 = 0$.

Giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = 8.91$, $b = 453.6$, $c = -39370$.

$\Delta = b^2 - 4ac = (453.6)^2 - 4(8.91)(-39370) = 205752.96 + 1403590.8 = 1609343.76$.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{1609343.76} \approx 1268.6$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-453.6 \pm 1268.6}{2(8.91)} = \frac{-453.6 \pm 1268.6}{17.82}$.

$x_1 = \frac{-453.6 + 1268.6}{17.82} = \frac{815}{17.82} \approx 45.735$.

$x_2 = \frac{-453.6 - 1268.6}{17.82} \approx -96.64$.

Vì công suất $x$ phải là số dương, nên ta chọn $x \approx 45.735$.

Làm tròn đến hàng đơn vị: $x = 46$.

Vậy công suất $x = 46$ MW tối đa hóa tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu.