Gxervfbgmjnhhgjifh Câu 2. Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng $d:\frac{x-1}2=\frac{y-3}{-5}=\frac{z+2}3$ và mặt phẳng,$(P):~x+2y-3z+1=0$,a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow u=(2;-5;3)$,b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow n=(1;-2;3)$,c) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $48^0$,d) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $M(1;3;-2)$ và vuông góc với đường thẳng d tiếp xúc,với mặt cầu $(S):~(x+4)^2+(y-8)^2+(z+6)^2=46$

Question

Accepted Answer

Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

Phần a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u} = (2; -5; 3)$

Đường thẳng $d$ được cho dưới dạng tham số:
$$ \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z+2}{3} $$

Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (2; -5; 3)$.

Phần b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$

Mặt phẳng $(P)$ được cho dưới dạng:
$$ x + 2y - 3z + 1 = 0 $$

Từ phương trình này, ta thấy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$.

Phần c) Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng $48^\circ$

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức:
$$ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} $$

Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}$:
$$ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \cdot 1 + (-5) \cdot 2 + 3 \cdot (-3) = 2 - 10 - 9 = -17 $$

Tiếp theo, ta tính độ dài của các vectơ:
$$ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38} $$
$$ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $$

Bây giờ, ta tính $\sin \theta$:
$$ \sin \theta = \frac{|-17|}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{14}} = \frac{17}{\sqrt{532}} \approx 0.743 $$

Từ đó, ta tìm góc $\theta$:
$$ \theta = \arcsin(0.743) \approx 48^\circ $$

Phần d) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm $M(1; 3; -2)$ và vuông góc với đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu $(S): (x+4)^2 + (y-8)^2 + (z+6)^2 = 46$

Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(1; 3; -2)$ và vuông góc với đường thẳng $d$, do đó vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\overrightarrow{u} = (2; -5; 3)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là:
$$ 2(x - 1) - 5(y - 3) + 3(z + 2) = 0 $$
$$ 2x - 2 - 5y + 15 + 3z + 6 = 0 $$
$$ 2x - 5y + 3z + 19 = 0 $$

Để mặt phẳng $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(Q)$ phải bằng bán kính của mặt cầu. Tâm mặt cầu $(S)$ là $(-4; 8; -6)$ và bán kính là $\sqrt{46}$.

Khoảng cách từ điểm $(-4; 8; -6)$ đến mặt phẳng $(Q)$ là:
$$ d = \frac{|2(-4) - 5(8) + 3(-6) + 19|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2 + 3^2}} = \frac{|-8 - 40 - 18 + 19|}{\sqrt{38}} = \frac{|-47|}{\sqrt{38}} = \frac{47}{\sqrt{38}} $$

Để mặt phẳng $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, ta cần:
$$ \frac{47}{\sqrt{38}} = \sqrt{46} $$

Do đó, mặt phẳng $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ khi:
$$ \frac{47}{\sqrt{38}} = \sqrt{46} $$

Kết luận:
- Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u} = (2; -5; 3)$.
- Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n} = (1; 2; -3)$.
- Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là $48^\circ$.
- Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $M(1; 3; -2)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.