Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 17. Chứng minh rằng phương trình,$x^3+y^3+z^3=2024$,có nghiệm nguyên hay không?

Question

Accepted Answer

Ta sẽ chứng minh rằng phương trình $x^3 + y^3 + z^3 = 2024$ không có nghiệm nguyên.

Bước 1: Xét các trường hợp của $x$, $y$, và $z$ theo modulo 9.

- Số nào chia hết cho 9 thì $n^3 \equiv 0 \pmod{9}$.
- Số nào chia cho 9 dư 1 hoặc -1 thì $n^3 \equiv 1 \pmod{9}$ hoặc $n^3 \equiv -1 \pmod{9}$.

Bước 2: Ta thấy rằng mọi số nguyên $n$ khi chia cho 9 sẽ có các số dư từ 0 đến 8. Ta xét các trường hợp:
- $n \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 0 \pmod{9}$
- $n \equiv 1 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 1 \pmod{9}$
- $n \equiv 2 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 8 \pmod{9}$
- $n \equiv 3 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 0 \pmod{9}$
- $n \equiv 4 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 1 \pmod{9}$
- $n \equiv 5 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 8 \pmod{9}$
- $n \equiv 6 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 0 \pmod{9}$
- $n \equiv 7 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 1 \pmod{9}$
- $n \equiv 8 \pmod{9} \Rightarrow n^3 \equiv 8 \pmod{9}$

Bước 3: Ta thấy rằng $n^3 \pmod{9}$ chỉ có thể nhận các giá trị 0, 1, hoặc 8.

Bước 4: Ta xét tổng của ba số $x^3 + y^3 + z^3 \pmod{9}$:
- Tổng của ba số 0, 1, hoặc 8 chỉ có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8 (không bao giờ nhận giá trị 5).

Bước 5: Ta thấy rằng $2024 \div 9 = 224$ dư 8, tức là $2024 \equiv 8 \pmod{9}$.

Bước 6: Vì $x^3 + y^3 + z^3 \pmod{9}$ không thể nhận giá trị 8, nên phương trình $x^3 + y^3 + z^3 = 2024$ không có nghiệm nguyên.

Kết luận: Phương trình $x^3 + y^3 + z^3 = 2024$ không có nghiệm nguyên.