Giải chi tiết giúp Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số $y=(x+1)\sqrt x.$,$A.~y^\prime=\frac{3x+1}{2\sqrt x}$ $B.~y^\prime=\frac{x+1}{2\sqrt x}$ $C.~y^\prime=\frac{3x+1}{\sqrt x}$ $D.~y^\prime=\frac{3x+1}{4\sqrt x}$,Câu 15: Cho hàm số $y=(2x-1)\sqrt{x^2+x},$ biết $y^\prime=\frac{ax^2+bx+c}{2\sqrt{x^2+x}}.$ Hãy tính $2a+b-3c.$,A. 20 B. 23 C. 16 D. 19

Question

Accepted Answer

Câu 14:
Để tính đạo hàm của hàm số $ y = (x + 1) \sqrt{x} $, ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số $ u(x) $ và $ v(x) $:

$$ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $$

Trong đó:
- $ u(x) = x + 1 $
- $ v(x) = \sqrt{x} $

Bước 1: Tính đạo hàm của $ u(x) $:
$$ u'(x) = 1 $$

Bước 2: Tính đạo hàm của $ v(x) $:
$$ v(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $$
$$ v'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$

Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số:
$$ y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $$
$$ y' = 1 \cdot \sqrt{x} + (x + 1) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$

Bước 4: Rút gọn biểu thức:
$$ y' = \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}} $$
$$ y' = \frac{2x}{2 \sqrt{x}} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}} $$
$$ y' = \frac{2x + x + 1}{2 \sqrt{x}} $$
$$ y' = \frac{3x + 1}{2 \sqrt{x}} $$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ y' = \frac{3x + 1}{2 \sqrt{x}} $

Câu 15:
Để tính $2a + b - 3c$, trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số $y = (2x - 1)\sqrt{x^2 + x}$ và so sánh với $y' = \frac{ax^2 + bx + c}{2\sqrt{x^2 + x}}$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = (2x - 1)\sqrt{x^2 + x}$

Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số:
$$ y' = u'v + uv' $$

Trong đó:
$$ u = 2x - 1 $$
$$ v = \sqrt{x^2 + x} $$

Tính đạo hàm của $u$ và $v$:
$$ u' = 2 $$
$$ v' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2 + x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + x}} \cdot (2x + 1) = \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$

Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
$$ y' = 2 \cdot \sqrt{x^2 + x} + (2x - 1) \cdot \frac{2x + 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$

Rút gọn biểu thức:
$$ y' = 2\sqrt{x^2 + x} + \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{2\sqrt{x^2 + x}} $$
$$ y' = 2\sqrt{x^2 + x} + \frac{4x^2 - 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$
$$ y' = \frac{4(x^2 + x) + 4x^2 - 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$
$$ y' = \frac{4x^2 + 4x + 4x^2 - 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$
$$ y' = \frac{8x^2 + 4x - 1}{2\sqrt{x^2 + x}} $$

So sánh với $y' = \frac{ax^2 + bx + c}{2\sqrt{x^2 + x}}$, ta có:
$$ a = 8, \quad b = 4, \quad c = -1 $$

Bước 2: Tính $2a + b - 3c$
$$ 2a + b - 3c = 2(8) + 4 - 3(-1) $$
$$ 2a + b - 3c = 16 + 4 + 3 $$
$$ 2a + b - 3c = 23 $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{23} $$