giúp mình với Trường C,Câu 3. Trong không gian Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0),$ đơn vị trên mỗi trục tính,theo kilômét. Một máy bay chuyền động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí,$A(-500;-250;150),~B(-200;-200;100).~Khi~máy~oay~va$ Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, toạ độ của vị trí máy bay là,$(a;b;c).$ Giá trị của biểu thức $-3a-b-c$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (-200 + 500; -200 + 250; 100 - 150) = (300; 50; -50)$

Phương trình tham số của đường thẳng AB:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = -500 + 300t \
y = -250 + 50t \
z = 150 - 50t
\end{array}
\right.
$$

Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của máy bay là $(a; b; c)$. Ta cần tìm giá trị của biểu thức $-3a - b - c$.

Để máy bay gần đài kiểm soát nhất, ta cần tìm điểm trên đường thẳng AB sao cho khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ O(0,0,0) là nhỏ nhất.

Khoảng cách từ điểm $(x,y,z)$ đến gốc tọa độ là:

$$
d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$

Thay phương trình tham số vào biểu thức khoảng cách:

$$
d = \sqrt{(-500 + 300t)^2 + (-250 + 50t)^2 + (150 - 50t)^2}
$$

Ta cần tìm giá trị của $t$ để khoảng cách này nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tìm đạo hàm của $d^2$ theo $t$ và đặt nó bằng 0.

$$
d^2 = (-500 + 300t)^2 + (-250 + 50t)^2 + (150 - 50t)^2
$$

Tính đạo hàm:

$$
\frac{d(d^2)}{dt} = 2(-500 + 300t) \cdot 300 + 2(-250 + 50t) \cdot 50 + 2(150 - 50t) \cdot (-50)
$$

$$
= 600(-500 + 300t) + 100(-250 + 50t) - 100(150 - 50t)
$$

$$
= -300000 + 180000t - 25000 + 5000t - 15000 + 5000t
$$

$$
= -340000 + 190000t
$$

Đặt đạo hàm bằng 0:

$$
-340000 + 190000t = 0
$$

$$
190000t = 340000
$$

$$
t = \frac{340000}{190000} = \frac{34}{19} \approx 1.7895
$$

Thay giá trị của $t$ vào phương trình tham số:

$$
a = -500 + 300 \cdot 1.7895 \approx -500 + 536.85 = 36.85
$$

$$
b = -250 + 50 \cdot 1.7895 \approx -250 + 89.475 = -160.525
$$

$$
c = 150 - 50 \cdot 1.7895 \approx 150 - 89.475 = 60.525
$$

Giá trị của biểu thức $-3a - b - c$:

$$
-3a - b - c = -3 \cdot 36.85 - (-160.525) - 60.525
$$

$$
= -110.55 + 160.525 - 60.525
$$

$$
= -10.55
$$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:

$$
-10.55 \approx -11
$$

Vậy giá trị của biểu thức $-3a - b - c$ là $-11$.