Giải cho mình câu nào đúng câu nào sai với a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=1+2\cos2x.$,b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;\pi]$ là $\frac\pi6-\frac{\sqrt3}2.$,c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[0;\pi]$ là $\frac\pi6$ và $\frac{5\pi}6.$,$d)~f(0)=0;f(\pi)=\pi.$,0 2/4 - Mã đề 396

Question

Accepted Answer

Xét các phát biểu:
a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=1+2\cos2x.$
- Đúng vì đạo hàm của $f(x) = x + \sin 2x$ là $f^\prime(x) = 1 + 2\cos 2x$.

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;\pi]$ là $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}.$
- Xét $f'(x) = 1 + 2\cos 2x$. 
- Ta có $f'(x) = 0 \Rightarrow 1 + 2\cos 2x = 0 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$.
- Điều này xảy ra khi $2x = \frac{2\pi}{3}$ hoặc $2x = \frac{4\pi}{3}$ trong khoảng $[0, 2\pi]$, dẫn đến $x = \frac{\pi}{3}$ hoặc $x = \frac{2\pi}{3}$.
- Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị:
  - $f(0) = 0 + \sin 0 = 0$
  - $f(\pi) = \pi + \sin 2\pi = \pi$
  - $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
  - $f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} + \sin \left(\frac{4\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
- Trong đó, giá trị nhỏ nhất là $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$, không phải $\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Do đó, phát biểu b) sai.

c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[0;\pi]$ là $\frac{\pi}{6}$ và $\frac{5\pi}{6}.$
- Ta đã tìm thấy $f'(x) = 0$ khi $\cos 2x = -\frac{1}{2}$, dẫn đến $x = \frac{\pi}{3}$ hoặc $x = \frac{2\pi}{3}$.
- Do đó, phát biểu c) sai.

d) $f(0)=0; f(\pi)=\pi.$
- Đúng vì $f(0) = 0 + \sin 0 = 0$ và $f(\pi) = \pi + \sin 2\pi = \pi$.

Kết luận:
- Đáp án đúng là: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.