Giải cho tôi

Câu 1. Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong tứ diện đều ABCD có cạnh 2, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình tam giác ABC: - Tứ diện đều có tất cả các mặt là tam giác đều. - Diện tích của tam giác đều cạnh 2 là: $$ 2. Tính thể tích của tứ diện ABCD: - Thể tích của một tứ diện đều cạnh $$ là: $$ - Với $$: $$ 3. Tính chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy ABC: - Gọi $$ là chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy ABC. - Thể tích cũng có thể tính qua công thức: $$ - Thay vào: $$ - Giải ra $$: $$ 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong một tứ diện đều là khoảng cách từ một đường thẳng đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia. - Ta lấy khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB, sau đó lấy khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AB. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD sẽ là khoảng cách từ đường thẳng AB đến mặt phẳng chứa CD. 5. Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB: - Gọi $$ là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB. - Diện tích tam giác ABD là: $$ - Thể tích của tứ diện ABCD cũng có thể tính qua công thức: $$ - Thay vào: $$ - Giải ra $$: $$ 6. Kết luận: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là: $$ Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là 1.63 (đơn vị). Câu 2. Để tìm tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị, cụ thể là thuật toán Nearest Neighbor hoặc thuật toán Prim để tìm cây khung nhỏ nhất (Minimum Spanning Tree - MST). Bước 1: Xác định các đỉnh và trọng số của các cạnh: - Các đỉnh: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z. - Trọng số của các cạnh: - AB = 1, AC = 2, AD = 3, AE = 4, AF = 5, AG = 6, AH = 7, AI = 8, AJ = 9, AK = 10, AL = 11, AM = 12, AN = 13, AO = 14, AP = 15, AQ = 16, AR = 17, AS = 18, AT = 19, AU = 20, AV = 21, AW = 22, AX = 23, AY = 24, AZ = 25, - BC = 1, BD = 2, BE = 3, BF = 4, BG = 5, BH = 6, BI = 7, BJ = 8, BK = 9, BL = 10, BM = 11, BN = 12, BO = 13, BP = 14, BQ = 15, BR = 16, BS = 17, BT = 18, BU = 19, BV = 20, BW = 21, BX = 22, BY = 23, BZ = 24, - CD = 1, CE = 2, CF = 3, CG = 4, CH = 5, CI = 6, CJ = 7, CK = 8, CL = 9, CM = 10, CN = 11, CO = 12, CP = 13, CQ = 14, CR = 15, CS = 16, CT = 17, CU = 18, CV = 19, CW = 20, CX = 21, CY = 22, CZ = 23, - DE = 1, DF = 2, DG = 3, DH = 4, DI = 5, DJ = 6, DK = 7, DL = 8, DM = 9, DN = 10, DO = 11, DP = 12, DQ = 13, DR = 14, DS = 15, DT = 16, DU = 17, DV = 18, DW = 19, DX = 20, DY = 21, DZ = 22, - EF = 1, EG = 2, EH = 3, EI = 4, EJ = 5, EK = 6, EL = 7, EM = 8, EN = 9, EO = 10, EP = 11, EQ = 12, ER = 13, ES = 14, ET = 15, EU = 16, EV = 17, EW = 18, EX = 19, EY = 20, EZ = 21, - FG = 1, FH = 2, FI = 3, FJ = 4, FK = 5, FL = 6, FM = 7, FN = 8, FO = 9, FP = 10, FQ = 11, FR = 12, FS = 13, FT = 14, FU = 15, FV = 16, FW = 17, FX = 18, FY = 19, FZ = 20, - GH = 1, GI = 2, GJ = 3, GK = 4, GL = 5, GM = 6, GN = 7, GO = 8, GP = 9, GQ = 10, GR = 11, GS = 12, GT = 13, GU = 14, GV = 15, GW = 16, GX = 17, GY = 18, GZ = 19, - HI = 1, HJ = 2, HK = 3, HL = 4, HM = 5, HN = 6, HO = 7, HP = 8, HQ = 9, HR = 10, HS = 11, HT = 12, HU = 13, HV = 14, HW = 15, HX = 16, HY = 17, HZ = 18, - IJ = 1, IK = 2, IL = 3, IM = 4, IN = 5, IO = 6, IP = 7, IQ = 8, IR = 9, IS = 10, IT = 11, IU = 12, IV = 13, IW = 14, IX = 15, IY = 16, IZ = 17, - JK = 1, JL = 2, JM = 3, JN = 4, JO = 5, JP = 6, JQ = 7, JR = 8, JS = 9, JT = 10, JU = 11, JV = 12, JW = 13, JX = 14, JY = 15, JZ = 16, - KL = 1, KM = 2, KN = 3, KO = 4, KP = 5, KQ = 6, KR = 7, KS = 8, KT = 9, KU = 10, KV = 11, KW = 12, KX = 13, KY = 14, KZ = 15, - LM = 1, LN = 2, LO = 3, LP = 4, LQ = 5, LR = 6, LS = 7, LT = 8, LU = 9, LV = 10, LW = 11, LX = 12, LY = 13, LZ = 14, - MN = 1, MO = 2, MP = 3, MQ = 4, MR = 5, MS = 6, MT = 7, MU = 8, MV = 9, MW = 10, MX = 11, MY = 12, MZ = 13, - NO = 1, NP = 2, NQ = 3, NR = 4, NS = 5, NT = 6, NU = 7, NV = 8, NW = 9, NX = 10, NY = 11, NZ = 12, - OP = 1, OQ = 2, OR = 3, OS = 4, OT = 5, OU = 6, OV = 7, OW = 8, OX = 9, OY = 10, OZ = 11, - PQ = 1, PR = 2, PS = 3, PT = 4, PU = 5, PV = 6, PW = 7, PX = 8, PY = 9, PZ = 10, - QR = 1, QS = 2, QT = 3, QU = 4, QV = 5, QW = 6, QX = 7, QY = 8, QZ = 9, - RS = 1, RT = 2, RU = 3, RV = 4, RW = 5, RX = 6, RY = 7, RZ = 8, - ST = 1, SU = 2, SV = 3, SW = 4, SX = 5, SY = 6, SZ = 7, - TU = 1, TV = 2, TW = 3, TX = 4, TY = 5, TZ = 6, - UV = 1, UW = 2, UX = 3, UY = 4, UZ = 5, - VW = 1, VX = 2, VY = 3, VZ = 4, - WX = 1, WY = 2, WZ = 3, - XY = 1, XZ = 2, - YZ = 1. Bước 2: Áp dụng thuật toán Prim để tìm cây khung nhỏ nhất (MST): - Bắt đầu từ đỉnh A, chọn cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với đỉnh A, đó là cạnh AB (trọng số = 1). - Tiếp theo, chọn cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A và B), đó là cạnh AC (trọng số = 2). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B và C), đó là cạnh AD (trọng số = 3). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C và D), đó là cạnh AE (trọng số = 4). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D và E), đó là cạnh AF (trọng số = 5). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E và F), đó là cạnh AG (trọng số = 6). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F và G), đó là cạnh AH (trọng số = 7). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G và H), đó là cạnh AI (trọng số = 8). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H và I), đó là cạnh AJ (trọng số = 9). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I và J), đó là cạnh AK (trọng số = 10). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J và K), đó là cạnh AL (trọng số = 11). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K và L), đó là cạnh AM (trọng số = 12). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L và M), đó là cạnh AN (trọng số = 13). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M và N), đó là cạnh AO (trọng số = 14). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N và O), đó là cạnh AP (trọng số = 15). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O và P), đó là cạnh AQ (trọng số = 16). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P và Q), đó là cạnh AR (trọng số = 17). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q và R), đó là cạnh AS (trọng số = 18). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R và S), đó là cạnh AT (trọng số = 19). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S và T), đó là cạnh AU (trọng số = 20). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T và U), đó là cạnh AV (trọng số = 21). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U và V), đó là cạnh AW (trọng số = 22). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V và W), đó là cạnh AX (trọng số = 23). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W và X), đó là cạnh AY (trọng số = 24). - Chọn tiếp cạnh có trọng số nhỏ nhất liên kết với các đỉnh đã chọn (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X và Y), đó là cạnh AZ (trọng số = 25). Bước 3: Tính tổng trọng số của các cạnh trong cây khung nhỏ nhất: $$ Vậy tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất là 325 đơn vị độ dài. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điểm hạ cánh $$ của máy bay trên mặt sân bay (Oxy). Máy bay bay theo đường thẳng từ điểm $$ đến điểm $$. Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $$ và $$. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $$ và $$ là: $$ Áp dụng vào bài toán: $$ $$ Bước 2: Tìm giá trị của $$ khi máy bay hạ cánh tại điểm $$. Khi máy bay hạ cánh, tọa độ $$: $$ Bước 3: Thay giá trị $$ vào phương trình tham số để tìm $$ và $$. $$ $$ Do đó, tọa độ điểm hạ cánh $$ là $$. Bước 4: Tính giá trị của $$. $$ Vậy giá trị của $$ là $$. Câu 4. Để tính thể tích phần nhiên liệu trong bể, ta cần tính diện tích phần hình tròn bị cắt bởi mực nhiên liệu và nhân với chiều dài của bể. Bước 1: Xác định các thông số: - Bán kính đáy của bể: $$ m - Chiều cao của mực nhiên liệu: $$ m - Chiều dài của bể: $$ m Bước 2: Tính diện tích phần hình tròn bị cắt bởi mực nhiên liệu: - Ta có công thức tính diện tích phần hình tròn bị cắt là: $$ Thay các giá trị vào công thức: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Bước 3: Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể: $$ $$ $$ Vậy thể tích phần nhiên liệu trong bể là khoảng 12,64 m³ (làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần mười). Đáp số: 12,64 m³. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản xạ để tìm điểm M trên đoạn A'B' sao cho tổng khoảng cách từ hai xã A và B đến vị trí M là nhỏ nhất. Bước 1: Xác định điểm B'' là điểm đối xứng của B qua đường thẳng A'B'. Ta có: - B' là điểm chính giữa của đoạn thẳng B và B''. - Vì vậy, B' là trung điểm của đoạn thẳng BB''. Bước 2: Tính khoảng cách từ B' đến B''. - Vì B' là trung điểm của BB'', nên B'B'' = 2 × B'B = 2 × 600 = 1200 m. Bước 3: Xác định hình dạng tam giác AB''B'. - Tam giác AB''B' là tam giác vuông tại B', vì B' là trung điểm của BB'' và B'' là điểm đối xứng của B qua đường thẳng A'B'. Bước 4: Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AB''B'. - AB''^2 = AA'^2 + A'B'^2 + B'B''^2 - AB''^2 = 500^2 + 2200^2 + 1200^2 - AB''^2 = 250000 + 4840000 + 1440000 - AB''^2 = 6530000 - AB'' = √6530000 ≈ 2555.38 m Bước 5: Kết luận. - Tổng khoảng cách từ hai xã A và B đến vị trí M là nhỏ nhất khi M nằm trên đoạn thẳng AB''. - Do đó, giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó là khoảng cách AB''. Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó là 2555 m (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 2555 m. Câu 6. Giá bán x tấn sản phẩm là: $$ Doanh thu từ việc bán x tấn sản phẩm là: $$ Chi phí để sản xuất x tấn sản phẩm là: $$ Lợi nhuận từ việc bán x tấn sản phẩm là: $$ Để tìm giá trị của x sao cho lợi nhuận lớn nhất, ta tính đạo hàm của $$: $$ Đặt $$: $$ $$ $$ $$ Kiểm tra điều kiện $$, ta thấy $$ thỏa mãn điều kiện này. Để kiểm tra xem $$ là điểm cực đại, ta tính đạo hàm bậc hai của $$: $$ Tại $$: $$ Vậy $$ là điểm cực đại của $$. Do đó, nhà máy A cần bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất.