III. Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4 Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh sqrt(6) , cạnh bên SD = 2sqrt(3) và SD vuông góc...

Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. - Ta có $$, do đó $$ và $$. 2. Tìm tọa độ các điểm: - Gọi $$, $$, $$, $$. - Vì $$ và $$, nên $$. 3. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng: - Vectơ chỉ phương của SB: $$. - Vectơ chỉ phương của CD: $$. 4. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SB và CD: - Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa SB và CD. Gọi vectơ này là $$. - Ta có $$: $$ $$ 5. Tính khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SB: - Ta cần tìm khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng SB. Gọi khoảng cách này là d. - Ta có: $$ - Ta có $$. - Ta tính: $$ - Ta tính: $$ - Vậy: $$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là 2. Câu 2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ABC là tam giác đều, do đó CH là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường trung trực của cạnh AB. Điều này có nghĩa là CH vuông góc với AB. Do mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), nên đường thẳng CH nằm trong mặt phẳng đáy (ABC) và vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng (SAB) và (ABC). Do đó, CH vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SAB). Vì vậy, góc giữa đường thẳng CH và mặt phẳng (SAB) chính là góc giữa CH và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (SAB). Nhưng vì CH đã vuông góc với AB, nên góc giữa CH và (SAB) sẽ là góc giữa CH và SH (với S là đỉnh của hình chóp). Ta có: - CH vuông góc với AB. - SH nằm trong mặt phẳng (SAB) và vuông góc với AB (do (SAB) vuông góc với (ABC)). Do đó, góc giữa CH và SH chính là góc giữa CH và (SAB). Vì CH vuông góc với AB và SH vuông góc với AB, nên góc giữa CH và SH sẽ là 90 độ. Vậy số đo của góc (CH, (SAB)) là 90 độ. Đáp số: 90 độ. Câu 3. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh $$. - SA = a, SC = $$. - M là trung điểm của AD, N là trung điểm của SD. Ta cần tìm góc giữa đường thẳng MN và SC. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD. - Gọi A(0, 0, 0), B($$, 0, 0), C($$, $$, 0), D(0, $$, 0). - Vì SA = a và SC = $$, ta có thể xác định tọa độ của S. Ta giả sử S có tọa độ (0, 0, h). Bước 2: Xác định tọa độ của M và N. - M là trung điểm của AD, nên M có tọa độ $$. - N là trung điểm của SD, nên N có tọa độ $$. Bước 3: Xác định vectơ MN và SC. - Vectơ MN = N - M = $$. - Vectơ SC = C - S = $$. Bước 4: Tính góc giữa hai vectơ MN và SC. - Ta sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ: $$ - Tích vô hướng $$: $$ - Độ dài của $$: $$ - Độ dài của $$: $$ - Thay vào công thức cosin: $$ Bước 5: Xác định giá trị của h. - Vì SA = a, ta có: $$ - Thay h = a vào công thức: $$ Bước 6: Tính góc θ. $$ Vậy góc giữa MN và SC là: $$ Đáp số: Góc giữa MN và SC là khoảng 116.57 độ. Câu 4. Số tiền người đó nhận sau 10 năm là: $$ Số tiền lãi thu được sau 10 năm là: $$ Vậy số tiền lãi thu được của người đó sau 10 năm là 116 triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 116 triệu đồng.