Mọi người giúp mình với Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương,ABCD.A'B'C'D' có $A(0;0;0),~B(2;0;0),~D(0;2;0).$,,$A^\prime(0;0;2).$ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và,AA' (Hình 3).,a) Toạ độ của điểm M là $(1;0;0).$,b) Toạ độ của điểm N là $(0;1;0).$,c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là $\frac x1+\frac y2+\frac z1=1.~d$,d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac83.$,Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(P):~y=0,(Q):\sqrt3x-y-2024=0$ . Xét các véc tơ,$\overrightarrow n_1=(0;1;0),~\overrightarrow{n_2}=(\sqrt3;-1;0).$,$a)~\overrightarrow{n_1}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P).d$,$b)~\overrightarrow{n_2}$ không là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q).S$,$c)~\overrightarrow n_1.\overrightarrow{n_2}=-1.$,d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P).(Q)$ bằng $30^0.$,Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\frac{x-2024}2=\frac y1=\frac{z+2025}{-2}$ và mặt phẳng,$(P):~2x+2y-z+1=0.$ Xét các vectơ $\overrightarrow u=(2;1;-2),~\overrightarrow n=(2;2;-1).$,a) u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng,$\Delta$,$b)~n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).,$c)~\cos(\Delta,(P))=\frac89.$

Question

Mọi người giúp mình với Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương,ABCD.A'B'C'D' có $A(0;0;0),~B(2;0;0),~D(0;2;0).$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/4a8cd75d6a09443594adecd5beaa8ebe.jpg />,$A^\prime(0;0;2).$ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và,AA' (Hình 3).,a) Toạ độ của điểm M là $(1;0;0).$,b) Toạ độ của điểm N là $(0;1;0).$,c) Phương trình mặt phẳng (DMN) là $\frac x1+\frac y2+\frac z1=1.~d$,d) Khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (DMN) bằng $\frac83.$,Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(P):~y=0,(Q):\sqrt3x-y-2024=0$ . Xét các véc tơ,$\overrightarrow n_1=(0;1;0),~\overrightarrow{n_2}=(\sqrt3;-1;0).$,$a)~\overrightarrow{n_1}$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P).d$,$b)~\overrightarrow{n_2}$ không là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q).S$,$c)~\overrightarrow n_1.\overrightarrow{n_2}=-1.$,d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P).(Q)$ bằng $30^0.$,Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta:\frac{x-2024}2=\frac y1=\frac{z+2025}{-2}$ và mặt phẳng,$(P):~2x+2y-z+1=0.$ Xét các vectơ $\overrightarrow u=(2;1;-2),~\overrightarrow n=(2;2;-1).$,a) u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng,$\Delta$,$b)~n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).,$c)~\cos(\Delta,(P))=\frac89.$

Accepted Answer

Câu 20.
a) Ta có $M$ là trung điểm của $AB$, do đó tọa độ của $M$ là:
$$ M = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (1, 0, 0) $$

b) Ta có $N$ là trung điểm của $AA'$, do đó tọa độ của $N$ là:
$$ N = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+2}{2} \right) = (0, 0, 1) $$

c) Mặt phẳng $(DMN)$ đi qua điểm $D(0, 2, 0)$ và có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{DM}$ và $\overrightarrow{DN}$:
$$ \overrightarrow{DM} = (1 - 0, 0 - 2, 0 - 0) = (1, -2, 0) $$
$$ \overrightarrow{DN} = (0 - 0, 0 - 2, 1 - 0) = (0, -2, 1) $$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(DMN)$ là:
$$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{DM} \times \overrightarrow{DN} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
1 & -2 & 0 \
0 & -2 & 1 
\end{vmatrix} = (-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-2))\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (1 \cdot (-2) - (-2) \cdot 0)\mathbf{k} = (-2, -1, -2) $$

Phương trình mặt phẳng $(DMN)$ là:
$$ -2(x - 0) - 1(y - 2) - 2(z - 0) = 0 $$
$$ -2x - y + 2 - 2z = 0 $$
$$ -2x - y - 2z + 2 = 0 $$
$$ 2x + y + 2z = 2 $$
$$ \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 $$

d) Khoảng cách từ điểm $C'(2, 2, 2)$ đến mặt phẳng $(DMN)$ là:
$$ d = \frac{|2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|4 + 2 + 4 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{8}{3} $$

Đáp số:
a) Tọa độ của điểm $M$ là $(1, 0, 0)$.
b) Tọa độ của điểm $N$ là $(0, 0, 1)$.
c) Phương trình mặt phẳng $(DMN)$ là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$.
d) Khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $(DMN)$ là $\frac{8}{3}$.

Câu 21.
a) Mặt phẳng $(P): y = 0$ có phương trình chính tắc là $0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z = 0$. Do đó, $\overrightarrow{n_1} = (0; 1; 0)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Đúng.

b) Mặt phẳng $(Q): \sqrt{3}x - y - 2024 = 0$ có phương trình chính tắc là $\sqrt{3} \cdot x - 1 \cdot y + 0 \cdot z = 2024$. Do đó, $\overrightarrow{n_2} = (\sqrt{3}; -1; 0)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$. Sai.

c) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là:
$$
\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0; 1; 0) \cdot (\sqrt{3}; -1; 0) = 0 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1.
$$
Đúng.

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$. Ta có:
$$
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} = \frac{-1}{1 \cdot 2} = -\frac{1}{2}.
$$
Do đó, $\theta = 120^\circ$. Sai.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Câu 22.
a) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x-2024}2=\frac y1=\frac{z+2025}{-2}$. Ta thấy vectơ $\overrightarrow u=(2;1;-2)$ chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$. Do đó, u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

b) Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x + 2y - z + 1 = 0$. Ta thấy vectơ $\overrightarrow n = (2;2;-1)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, $n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

c) Để tính $\cos(\Delta, (P))$, ta sử dụng công thức:
$$
\cos(\Delta, (P)) = \sin(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n})
$$
Trong đó, $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Ta có:
$$
\overrightarrow{u} = (2; 1; -2)
$$
$$
\overrightarrow{n} = (2; 2; -1)
$$

Tính tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}$:
$$
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = 4 + 2 + 2 = 8
$$

Tính độ dài của $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{n}$:
$$
|\overrightarrow{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$
$$
|\overrightarrow{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
$$

Tính $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n})$:
$$
\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n}) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{8}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}
$$

Do đó:
$$
\sin(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n}) = \sqrt{1 - \left( \frac{8}{9} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{81}} = \sqrt{\frac{17}{81}} = \frac{\sqrt{17}}{9}
$$

Vậy:
$$
\cos(\Delta, (P)) = \sin(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n}) = \frac{\sqrt{17}}{9}
$$

Đáp số: 
a) u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$
b) $n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$
c) $\cos(\Delta, (P)) = \frac{\sqrt{17}}{9}$