giải từ đầu đến cuối ĐỀ BÀI,1) Trong không gian Oxyz , cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P):~x+2y-2z+1=0$ và $(Q):~x+y+z-1=0$,bằng,2) Trong hệ tọa độ (Oxyz) . Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng $(Oxz)$ và mặt phẳng $(\alpha):~x+y-10z+2025=0.$ Khi,đó cosp là:,3) Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng $(P):~x+2y-3z+5=0$ và $(Q):~2x+y-3z-1=0$ bằng,(kết quả làm tròn đến độ),4) Trong không gian Oxyz , góc giữa đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=3-t\z=2+3t\end{array} ight.$ và mặt phẳng $(P):~x-y-2z+4=0$ bằng (kết,quả làm tròn đến độ),5) Trong hệ tọa độ (Oxyz) , cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x-1}1=\frac{y-2}2=\frac{z-3}1$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2+t\z=3+2t\end{array} ight..$ Gọi p là góc giữa,hai đường thẳng. Tính cosọ ?,$ extcircled{A.}~\frac56.$ $B.~\frac12.$ $C.~\frac{\sqrt3}2.$ $D.~\frac16.$,Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,$\Delta_1:\frac{x-1}2=\frac{y+2}1=\frac z2$ $\Delta_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-4}2=\frac{z-5}{-2}.$ NG) 122,Câu 1. Cho hai đường thẳng và A2 (-1;2; -2),Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"Vectơ $\overrightarrow{u_1}=(2,1,2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_1.$",A,
b),"Vectơ $\overrightarrow{u_2}=(-1,2,2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_2.$",,s
c),Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ xấp xỉ 64'.,,
d),"Góc giữa đường thẳng $\Delta_1$ và trục Ox xấp xỉ 40'. 48,,_.",,

,Câu 2. Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng $(P):~x+2y+z+10=0,(Q):~-x+y+2z+13=0,$,$(R):~mx+y-2=0$ $np(1,2,1)~nQ(-1;1,2).$,Các mệnh đề sau đúng hay sai? $1,0):~na(-1,1)2)~\overrightarrow n^\prime e.\overrightarrow{na}=1.(-1)+1.1+0.2=$,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"Vectơ $\overrightarrow{n_1}=(1,2,2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).",,
b),Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $30^0.$,,
c),Với $m=1$ thì $(Q)\bot(R).$,,

Question

giải từ đầu đến cuối ĐỀ BÀI,1) Trong không gian Oxyz , cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(P):~x+2y-2z+1=0$ và $(Q):~x+y+z-1=0$,bằng,2) Trong hệ tọa độ (Oxyz) . Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng $(Oxz)$ và mặt phẳng $(\alpha):~x+y-10z+2025=0.$ Khi,đó cosp là:,3) Trong không gian Oxyz , góc giữa hai mặt phẳng $(P):~x+2y-3z+5=0$ và $(Q):~2x+y-3z-1=0$ bằng,(kết quả làm tròn đến độ),4) Trong không gian Oxyz , góc giữa đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=3-t\z=2+3t\end{array}ight.$ và mặt phẳng $(P):~x-y-2z+4=0$ bằng (kết,quả làm tròn đến độ),5) Trong hệ tọa độ (Oxyz) , cho hai đường thẳng $\Delta_1:\frac{x-1}1=\frac{y-2}2=\frac{z-3}1$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2+t\z=3+2t\end{array}ight..$ Gọi p là góc giữa,hai đường thẳng. Tính cosọ ?,$	extcircled{A.}~\frac56.$ $B.~\frac12.$ $C.~\frac{\sqrt3}2.$ $D.~\frac16.$,Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.,$\Delta_1:\frac{x-1}2=\frac{y+2}1=\frac z2$ $\Delta_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-4}2=\frac{z-5}{-2}.$ NG) 122,Câu 1. Cho hai đường thẳng và A2 (-1;2; -2),Các mệnh đề sau đúng hay sai?,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"Vectơ $\overrightarrow{u_1}=(2,1,2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_1.$",A,
b),"Vectơ $\overrightarrow{u_2}=(-1,2,2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_2.$",,s
c),Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ xấp xỉ 64'.,,
d),"Góc giữa đường thẳng $\Delta_1$ và trục Ox xấp xỉ 40'. 48,,_.",,

,Câu 2. Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng $(P):~x+2y+z+10=0,(Q):~-x+y+2z+13=0,$,$(R):~mx+y-2=0$ $np(1,2,1)~nQ(-1;1,2).$,Các mệnh đề sau đúng hay sai? $1,0):~na(-1,1)2)~\overrightarrow n^\prime e.\overrightarrow{na}=1.(-1)+1.1+0.2=$,

,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"Vectơ $\overrightarrow{n_1}=(1,2,2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).",,
b),Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $30^0.$,,
c),Với $m=1$ thì $(Q)\bot(R).$,,

Accepted Answer

1) Ta có:
- Mặt phẳng $(P):~x+2y-2z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1=(1,2,-2)$.
- Mặt phẳng $(Q):~x+y+z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2=(1,1,1)$.

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng là:
$$ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 2 - 2|}{\sqrt{9} \sqrt{3}} = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9} $$

2) Ta có:
- Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1=(0,1,0)$.
- Mặt phẳng $(\alpha):~x+y-10z+2025=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2=(1,1,-10)$.

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng là:
$$ \cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-10)|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + (-10)^2}} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{102}} = \frac{1}{\sqrt{102}} $$

3) Ta có:
- Mặt phẳng $(P):~x+2y-3z+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1=(1,2,-3)$.
- Mặt phẳng $(Q):~2x+y-3z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2=(2,1,-3)$.

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng là:
$$ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|} = \frac{|1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-3) \cdot (-3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2}} = \frac{|2 + 2 + 9|}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{13}{14} $$

4) Ta có:
- Đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+2t\y=3-t\z=2+3t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương $\vec{d}=(2,-1,3)$.
- Mặt phẳng $(P):~x-y-2z+4=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1,-1,-2)$.

Sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
$$ \sin \theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| |\vec{n}|} = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + 3 \cdot (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 1 - 6|}{\sqrt{14} \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} $$

5) Ta có:
- Đường thẳng $\Delta_1:\frac{x-1}1=\frac{y-2}2=\frac{z-3}1$ có vectơ chỉ phương $\vec{d}_1=(1,2,1)$.
- Đường thẳng $\Delta_2:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2+t\z=3+2t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương $\vec{d}_2=(1,1,2)$.

Cosin của góc giữa hai đường thẳng là:
$$ \cos \varphi = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1| |\vec{d}_2|} = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 2 + 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{5}{6} $$

Đáp án đúng là A. $\frac{5}{6}$.

Câu 1.
a) Đúng vì vectơ $\overrightarrow{u_1}=(2,1,2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_1$ theo phương trình tham số của $\Delta_1$.

b) Sai vì vectơ $\overrightarrow{u_2}=(-1,2,-2)$ mới là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_2$, không phải là $\overrightarrow{u_2}=(-1,2,2)$.

c) Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ được tính dựa trên công thức góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng:

$$
\cos(\theta) = \left| \frac{\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2}}{|\overrightarrow{u_1}| |\overrightarrow{u_2}|} \right|
$$

Trong đó:
$$
\overrightarrow{u_1} = (2, 1, 2)
$$
$$
\overrightarrow{u_2} = (-1, 2, -2)
$$

Tính tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 2 \times (-1) + 1 \times 2 + 2 \times (-2) = -2 + 2 - 4 = -4
$$

Tính độ dài của các vectơ:
$$
|\overrightarrow{u_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$
$$
|\overrightarrow{u_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$

Do đó:
$$
\cos(\theta) = \left| \frac{-4}{3 \times 3} \right| = \left| \frac{-4}{9} \right| = \frac{4}{9}
$$

Tính góc:
$$
\theta = \cos^{-1}\left( \frac{4}{9} \right) \approx 63.69^\circ
$$

Vậy, góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ xấp xỉ $64^\circ$. Mệnh đề này là Đúng.

d) Góc giữa đường thẳng $\Delta_1$ và trục Ox được tính dựa trên công thức góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng:

$$
\cos(\phi) = \left| \frac{\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{i}}{|\overrightarrow{u_1}| |\overrightarrow{i}|} \right|
$$

Trong đó:
$$
\overrightarrow{u_1} = (2, 1, 2)
$$
$$
\overrightarrow{i} = (1, 0, 0)
$$

Tính tích vô hướng:
$$
\overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{i} = 2 \times 1 + 1 \times 0 + 2 \times 0 = 2
$$

Tính độ dài của các vectơ:
$$
|\overrightarrow{u_1}| = 3
$$
$$
|\overrightarrow{i}| = 1
$$

Do đó:
$$
\cos(\phi) = \left| \frac{2}{3 \times 1} \right| = \frac{2}{3}
$$

Tính góc:
$$
\phi = \cos^{-1}\left( \frac{2}{3} \right) \approx 48.19^\circ
$$

Vậy, góc giữa đường thẳng $\Delta_1$ và trục Ox xấp xỉ $48.19^\circ$. Mệnh đề này là Sai.

Kết luận:
\n\n\n
,Mệnh đề,Đúng,Sai
a),"Vectơ $\overrightarrow{u_1}=(2,1,2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_1.$",X,, 
b),"Vectơ $\overrightarrow{u_2}=(-1,2,2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_2.$",,X, 
c),Góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ xấp xỉ $64^0$.,X,, 
d),"Góc giữa đường thẳng $\Delta_1$ và trục Ox xấp xỉ $40^0$.,,X,
\n\n\n

Câu 2.
a) Đúng vì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_1}=(1,2,1)$

b) Sai vì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Ta có:

$\cos(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2})=\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{-1+2-2}{\sqrt{1+4+1}\times \sqrt{1+1+4}}=-\frac{1}{6}$

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $180^0-\cos^{-1}(\frac{1}{6})$

c) Đúng vì với $m=1$ thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (R) là $\overrightarrow{n_3}=(1,1,0)$. Ta có:

$\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{n_3}=-1+1+0=0$

Vậy $(Q)\bot(R)$.