giải từ đầu tới cuối Câu 3. Cho hai đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=-1+t\z=3\end{array} ight.$ và $\Delta^\prime:\left\{\begin{array}lx=1-s\y=2\z=-2+s\end{array} ight..$,$(1;6;0)$,a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta^\prime$ có tọa độ là $(1;2;-2);$ $(-1;0;1)$,b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;-1;3);$,c) Gọi $\overrightarrow u,\overrightarrow{u^\prime}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^\prime.$ Khi đó, công thức tính góc giữa hai,đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^\prime$ là $\cos(\Delta,\Delta^\prime)=\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow{u^\prime})=\frac{\overrightarrow u.\overrightarrow{u^\prime}}{|\overrightarrow u|.|\overrightarrow{u^\prime}|};$ $\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow u)=\frac{|1(-1)+10+61|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\sqrt{6-1^2+5^5+1^2}}=\frac12.$,d) Góc giữa hai đường thẳng $\Delta,~\Delta^\prime~là~60^0.$,Câu 4. Cho hai đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}2$ và $d^\prime:\frac{x+1}{-1}=\frac y1=\frac{z-3}1.$,a) Đường thẳng d đi qua điểm $N(1;-1;2);(1;-1;1)$,$b)~\overrightarrow x=(1;-1;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d^\prime;(-1;1;1)$,c) Độ dài của x bằng 1;,d) Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau.,Câu 5. Cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y2=\frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $(P):~x-y+2z=1.$,$\cos\varphi=\frac1{\sqrt6};$ $\begin{array}lU_\Delta(1;2;-1)=1.1+2.0+(1)0^2=\sqrt6\Ox(1;0;0)=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+0^2+26}\end{array}$,$a)~\overrightarrow n=(1;-1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P);,b) Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục Ox. Khi đóó,d) Góc giữa đường thẳng thuộc mặt phẳng (P); $30^060^{(1;2;-1)}_{np(1;-1;2)}$ $(G)~|u_{\Delta np}|=\frac{|1.1+2.(-1)+(-1).2|}{-\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2+2}}$,$c)~E(-1;2;1)$,$\Delta$ và mặt phẳng (P) bằng,Câu 6. Cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2-t\z=3+t\end{array} ight.$ và mặt phẳng $(P):~x+2y+z-4=0.$,$np(1,2,1)$,$a)~\overrightarrow u=(-1;1;-1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta;$,$b)~M(0;3;-2)$ không thuộc đường thẳng $\Delta;$,c) Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P).~u_{\Delta:~np}=1.1+(-1).2+1.1=$,d) Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng (P) tại $N(-1;4;1).$,Câu 7. Cho mặt phẳng $(P):~x+2y-z+1=0$ và mặt phẳng $(Q):~x-y+mz+1=0.$,$a)~F(0;-1;3)$ không thuộc mặt phẳng (P); $\sin\varphi=\frac2{\sqrt6};\frac{\overrightarrow n_p(1;2;-1)}{0 imes t(1;0;1)}\sqrt{1^2+2^2+(1)^2}.\sqrt{1^2+0^2+1}^2}$,b) Gọi # là góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxz) . Khi đó:,c) Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng $60^0$ khi $m=2;\Rightarrow$ $,~\frac{(1.1+2.(-1)+(-1).2)}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2}+2^2}=\frac12$,dd) Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau khi $m=1.$

Question

giải từ đầu tới cuối Câu 3. Cho hai đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=2+t\y=-1+t\z=3\end{array}ight.$ và $\Delta^\prime:\left\{\begin{array}lx=1-s\y=2\z=-2+s\end{array}ight..$,$(1;6;0)$,a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta^\prime$ có tọa độ là $(1;2;-2);$ $(-1;0;1)$,b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;-1;3);$,c) Gọi $\overrightarrow u,\overrightarrow{u^\prime}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^\prime.$ Khi đó, công thức tính góc giữa hai,đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^\prime$ là $\cos(\Delta,\Delta^\prime)=\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow{u^\prime})=\frac{\overrightarrow u.\overrightarrow{u^\prime}}{|\overrightarrow u|.|\overrightarrow{u^\prime}|};$ $\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow u)=\frac{|1(-1)+10+61|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\sqrt{6-1^2+5^5+1^2}}=\frac12.$,d) Góc giữa hai đường thẳng $\Delta,~\Delta^\prime~là~60^0.$,Câu 4. Cho hai đường thẳng $d:\frac x1=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}2$ và $d^\prime:\frac{x+1}{-1}=\frac y1=\frac{z-3}1.$,a) Đường thẳng d đi qua điểm $N(1;-1;2);(1;-1;1)$,$b)~\overrightarrow x=(1;-1;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d^\prime;(-1;1;1)$,c) Độ dài của x bằng 1;,d) Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau.,Câu 5. Cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y2=\frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $(P):~x-y+2z=1.$,$\cos\varphi=\frac1{\sqrt6};$ $\begin{array}lU_\Delta(1;2;-1)=1.1+2.0+(1)0^2=\sqrt6\Ox(1;0;0)=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+0^2+26}\end{array}$,$a)~\overrightarrow n=(1;-1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P);,b) Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục Ox. Khi đóó,d) Góc giữa đường thẳng thuộc mặt phẳng (P); $30^060^{(1;2;-1)}_{np(1;-1;2)}$ $(G)~|u_{\Delta np}|=\frac{|1.1+2.(-1)+(-1).2|}{-\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2+2}}$,$c)~E(-1;2;1)$,$\Delta$ và mặt phẳng (P) bằng,Câu 6. Cho đường thẳng $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+t\y=2-t\z=3+t\end{array}ight.$ và mặt phẳng $(P):~x+2y+z-4=0.$,$np(1,2,1)$,$a)~\overrightarrow u=(-1;1;-1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta;$,$b)~M(0;3;-2)$ không thuộc đường thẳng $\Delta;$,c) Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P).~u_{\Delta:~np}=1.1+(-1).2+1.1=$,d) Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng (P) tại $N(-1;4;1).$,Câu 7. Cho mặt phẳng $(P):~x+2y-z+1=0$ và mặt phẳng $(Q):~x-y+mz+1=0.$,$a)~F(0;-1;3)$ không thuộc mặt phẳng (P); $\sin\varphi=\frac2{\sqrt6};\frac{\overrightarrow n_p(1;2;-1)}{0	imes t(1;0;1)}\sqrt{1^2+2^2+(1)^2}.\sqrt{1^2+0^2+1}^2}$,b) Gọi # là góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxz) . Khi đó:,c) Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng $60^0$ khi $m=2;\Rightarrow$ $,~\frac{(1.1+2.(-1)+(-1).2)}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2}+2^2}=\frac12$,dd) Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau khi $m=1.$

Accepted Answer

Câu 3.
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta^\prime$ có tọa độ là $(1;2;-2).$ 
Lời giải: 
Đường thẳng $\Delta^\prime$ có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}lx=1-s\y=2\z=-2+s\end{array}\right..$ 
Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta^\prime$ là $\overrightarrow{u^\prime}=(-1;0;1).$ 
Vậy nhận xét này là sai.

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;-1;3).$ 
Lời giải: 
Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}lx=2+t\y=-1+t\z=3\end{array}\right..$ 
Khi $t=0,$ ta có $x=2,y=-1,z=3.$ 
Vậy đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;-1;3).$ 
Nhận xét này là đúng.

c) Gọi $\overrightarrow u,\overrightarrow{u^\prime}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^\prime.$ Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta^\prime$ là $\cos(\Delta,\Delta^\prime)=\cos(\overrightarrow u,\overrightarrow{u^\prime})=\frac{\overrightarrow u.\overrightarrow{u^\prime}}{|\overrightarrow u|.|\overrightarrow{u^\prime}|}.$ 
Lời giải: 
Công thức tính góc giữa hai đường thẳng dựa trên vectơ chỉ phương của chúng là đúng. 
Nhận xét này là đúng.

d) Góc giữa hai đường thẳng $\Delta,~\Delta^\prime~là~60^0.$ 
Lời giải: 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow u=(1;1;0).$ 
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta^\prime$ là $\overrightarrow{u^\prime}=(-1;0;1).$ 
Tích vô hướng $\overrightarrow u.\overrightarrow{u^\prime}=1\times(-1)+1\times0+0\times1=-1.$ 
Tính module của $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow{u^\prime}:$ 
$|\overrightarrow u|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2},$ 
$|\overrightarrow{u^\prime}|=\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.$ 
Do đó, $\cos(\Delta,\Delta^\prime)=\frac{-1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{-1}{2}.$ 
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $120^0$ (vì $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})=120^0).$ 
Nhận xét này là sai.

Câu 4.
a) Ta thấy $\frac{1-0}{1}=\frac{-1+1}{-1}=\frac{2-1}{2}=1$. Vậy d đi qua N(1;-1;2).

b) Ta thấy $\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}=\frac{1}{1}=-1$. Vậy $\overrightarrow x=(1;-1;1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d'.

c) Độ dài của $\overrightarrow x$ là $\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}\neq 1$.

d) Gọi $\overrightarrow u,\overrightarrow v$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d'. Ta có $\overrightarrow u=(1;-1;2),\overrightarrow v=(-1;1;1)$. Ta thấy $\overrightarrow u.\overrightarrow v=1\times (-1)+(-1)\times 1+2\times 1=0$. Vậy d và d' vuông góc với nhau.

Câu 5.
a) Mặt phẳng $(P):~x-y+2z=1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1,-1,2)$.
b) Đường thẳng $\Delta:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1,2,-1)$.
Trục Ox có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{i}=(1,0,0)$.
Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục Ox thì:
$\cos \varphi=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{i}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{i}|}=\frac{|1|}{\sqrt{1+4+1}\times 1}=\frac{1}{\sqrt{6}}$
c) Thay tọa độ điểm $E(-1,2,1)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta được:
$-1-2+2\times 1=-1\ne 1$
Vậy điểm $E$ không thuộc mặt phẳng $(P)$.
d) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(1,-1,2)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=(1,2,-1)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ thì:
$\sin \alpha=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|}=\frac{|1-2-2|}{\sqrt{1+4+1}\times \sqrt{1+1+4}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
Vậy $\alpha=30^{\circ}$.

Câu 6.
a) Ta có $\overrightarrow{u}=(-1;1;-1)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

b) Thay t = -1 vào phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$, ta được điểm M(0;3;-2). Vậy M thuộc đường thẳng $\Delta$.

c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;2;1)$. Ta có $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}=-1\times 1+1\times 2+(-1)\times 1=0$. Vậy đường thẳng $\Delta$ nằm trong mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

d) Thay t = -2 vào phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$, ta được điểm N(-1;4;1). Thay tọa độ của điểm N vào phương trình mặt phẳng (P), ta được (-1) + 2 × 4 + 1 - 4 = 4 ≠ 0. Vậy điểm N không thuộc mặt phẳng (P).

Vậy cả 4 phát biểu đều sai.

Câu 7.
a) Thay tọa độ điểm F vào phương trình mặt phẳng (P), ta có:
$$ 0 + 2(-1) - 3 + 1 = -2 - 3 + 1 = -4 \neq 0 $$
Vậy điểm F không thuộc mặt phẳng (P).

b) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là $ y = 0 $. Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $ \vec{n}_P = (1, 2, -1) $. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) là $ \vec{n}_{Oxz} = (0, 1, 0) $.

Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:
$$ \cos \varphi = \frac{\vec{n}_P \cdot \vec{n}_{Oxz}}{|\vec{n}_P| |\vec{n}_{Oxz}|} $$

Tính tích vô hướng:
$$ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_{Oxz} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 2 $$

Tính độ dài các vectơ:
$$ |\vec{n}_P| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} $$
$$ |\vec{n}_{Oxz}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 $$

Do đó:
$$ \cos \varphi = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

c) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được xác định bởi góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $ \vec{n}_Q = (1, -1, m) $.

Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ:
$$ \cos \theta = \frac{\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q}{|\vec{n}_P| |\vec{n}_Q|} $$

Tính tích vô hướng:
$$ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot m = 1 - 2 - m = -1 - m $$

Tính độ dài các vectơ:
$$ |\vec{n}_P| = \sqrt{6} $$
$$ |\vec{n}_Q| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + m^2} = \sqrt{1 + 1 + m^2} = \sqrt{2 + m^2} $$

Do đó:
$$ \cos \theta = \frac{-1 - m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2}} $$

Để góc giữa hai mặt phẳng là $ 60^\circ $:
$$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$
$$ \frac{-1 - m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2}} = \frac{1}{2} $$

Giải phương trình này:
$$ -1 - m = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2}}{2} $$
$$ -2 - 2m = \sqrt{6} \cdot \sqrt{2 + m^2} $$
$$ 4 + 4m + 4m^2 = 6(2 + m^2) $$
$$ 4 + 4m + 4m^2 = 12 + 6m^2 $$
$$ 4m^2 - 6m^2 + 4m + 4 - 12 = 0 $$
$$ -2m^2 + 4m - 8 = 0 $$
$$ m^2 - 2m + 4 = 0 $$

Phương trình này vô nghiệm vì $ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 $.

d) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0:
$$ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 $$
$$ 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + (-1) \cdot m = 0 $$
$$ 1 - 2 - m = 0 $$
$$ -1 - m = 0 $$
$$ m = -1 $$

Vậy, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi $ m = -1 $.

Đáp án đúng là d) $ m = -1 $.