Toán toán toán

Câu 29: Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vector pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng $$ có vector pháp tuyến $$. - Mặt phẳng $$ có vector pháp tuyến $$. 2. Tính tích vô hướng của hai vector pháp tuyến: $$ 3. Tính độ dài của mỗi vector pháp tuyến: $$ $$ 4. Tính cosin của góc giữa hai vector pháp tuyến: $$ 5. Tìm góc $$: $$ 6. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: $$ Vậy góc giữa hai mặt phẳng $$ và $$ là $$. Câu 30: Để tìm góc giữa hai đường thẳng $$ và $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng. - Đường thẳng $$ có phương trình $$. Vectơ chỉ phương của $$ là $$. - Đường thẳng $$ có phương trình $$. Vectơ chỉ phương của $$ là $$. Bước 2: Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương. $$ Bước 3: Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương. $$ $$ Bước 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ chỉ phương. $$ Bước 5: Tìm góc $$ bằng cách tính arccos của kết quả trên. $$ Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $$: $$ Vậy góc giữa hai đường thẳng $$ và $$ là khoảng 82 độ. Câu 31: Để tìm góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $$: Đường thẳng $$ có phương trình tham số: $$ Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $$ là: $$ 2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$: Mặt phẳng $$ có phương trình: $$ Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$ là: $$ 3. Tính góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$: Gọi $$ là góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$. Ta có: $$ trong đó $$ là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $$. Ta tính $$ bằng công thức: $$ Tính tích vô hướng $$: $$ Tính độ dài của vectơ $$: $$ Tính độ dài của vectơ $$: $$ Vậy: $$ Do đó: $$ 4. Tính góc $$: $$ Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $$: $$ Vậy góc giữa đường thẳng $$ và mặt phẳng $$ là khoảng 22 độ. Câu 32: Để tính khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình mặt phẳng $$: - Tìm hai vectơ trong mặt phẳng $$: $$ $$ - Tính vectơ pháp tuyến $$ của mặt phẳng $$ bằng tích vector của $$ và $$: $$ - Phương trình mặt phẳng $$ có dạng: $$ $$ $$ $$ 2. Tính khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$: - Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: $$ Trong đó, $$ và $$. - Thay tọa độ của điểm $$ vào: $$ Vậy khoảng cách từ điểm $$ đến mặt phẳng $$ là $$. Câu 33: Để tìm góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà, chúng ta cần xác định góc giữa mặt phẳng chứa các điểm A, B, C và mặt phẳng (Oxy). Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa các điểm A, B, C. - Vectơ AB = B - A = (4 - 2, 0 - 0, 3 - 4) = (2, 0, -1) - Vectơ AC = C - A = (4 - 2, 9 - 0, 3 - 4) = (2, 9, -1) Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng ABC là tích vector của AB và AC: $$ $$ Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy). Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là k = (0, 0, 1). Bước 3: Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Công thức tính góc giữa hai vectơ u và v: $$ - Tích vô hướng n và k: $$ - Độ dài của n: $$ - Độ dài của k: $$ Do đó: $$ Bước 4: Tìm góc θ. $$ Vậy góc giữa mái nhà bên phải và nền nhà là khoảng 27 độ (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 27 độ. Câu 34: Để tìm góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng AB: Vector $$ có tọa độ: $$ 2. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là $$, do đó vector pháp tuyến của nó là $$. 3. Tính cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy): Gọi $$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). Ta có: $$ trong đó $$ là góc giữa vector $$ và vector pháp tuyến $$. Ta tính $$: $$ Tích vô hướng $$: $$ Độ dài của $$: $$ Độ dài của $$: $$ Vậy: $$ Do đó: $$ 4. Tính góc $$: $$ Sử dụng máy tính để tìm giá trị của $$: $$ Vậy góc giữa đường bay và sân bay là khoảng 13 độ. Câu 35: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm điểm hạ cánh $$ của máy bay trên mặt phẳng $$. Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $$ và $$. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $$ và $$ là: $$ $$ Bước 2: Tìm tọa độ của điểm $$ trên mặt phẳng $$. Khi máy bay hạ cánh, tọa độ $$ của nó sẽ bằng 0. Do đó, ta có: $$ $$ $$ Bước 3: Thay $$ vào phương trình tham số để tìm $$ và $$. $$ $$ Bước 4: Tính tổng $$. $$ Vậy giá trị của $$ là $$. Đáp số: $$