Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho AC < BC và điểm D thuộc đoạn OA (D khác O, A). Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt các tiếp tuyến của (O) tại A và B lần...

a) Ta có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $$ (CE vuông góc với CD). Do đó, bốn điểm A, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FB). Mặt khác, ta cũng có $$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung DB). Từ đó suy ra $$. Ta có $$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). Do đó, $$. Kết hợp với $$, ta suy ra $$. Vậy tam giác DEF là tam giác vuông tại D. c) Ta có $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA). Mặt khác, ta cũng có $$ (hai góc so le trong). Từ đó suy ra $$. Do đó, bốn điểm M, N, C, D cùng thuộc một đường tròn. Ta có $$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính). Mặt khác, ta cũng có $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Từ đó suy ra bốn điểm P, Q, C, D cùng thuộc một đường tròn. Do đó, ba đường thẳng MN, PQ, CO đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp bốn điểm M, N, C, D và bốn điểm P, Q, C, D.