Đạo hàm của hàm phân thức Bài 2:,$1.~y=\frac{x(1-3x)}{x+1}$,$2.~y=\frac{2x+3}{2x-1}$,$3.~y=\frac1{x^2+1}$,$4.~y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

Question

Accepted Answer

Bài 2:
1. $y=\frac{x(1-3x)}{x+1}$
Điều kiện xác định: $x \neq -1$.
Ta có:
$$ y = \frac{x(1-3x)}{x+1} = \frac{x - 3x^2}{x + 1} $$
Phân tích biểu thức:
$$ y = \frac{-3x^2 + x}{x + 1} $$
Tìm đạo hàm:
$$ y' = \frac{(-6x + 1)(x + 1) - (-3x^2 + x)}{(x + 1)^2} = \frac{-6x^2 - 6x + x + 1 + 3x^2 - x}{(x + 1)^2} = \frac{-3x^2 - 6x + 1}{(x + 1)^2} $$
Đặt $y' = 0$:
$$ -3x^2 - 6x + 1 = 0 $$
Giải phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(-3)(1)}}{2(-3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 12}}{-6} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{-6} = \frac{6 \pm 4\sqrt{3}}{-6} = -1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} $$
Vậy $x_1 = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$ và $x_2 = -1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Kiểm tra các giá trị này trong điều kiện xác định và tính giá trị của $y$ tại các điểm cực trị.

2. $y=\frac{2x+3}{2x-1}$
Điều kiện xác định: $x \neq \frac{1}{2}$.
Ta có:
$$ y = \frac{2x + 3}{2x - 1} $$
Phân tích biểu thức:
$$ y = \frac{2x + 3}{2x - 1} $$
Tìm đạo hàm:
$$ y' = \frac{2(2x - 1) - 2(2x + 3)}{(2x - 1)^2} = \frac{4x - 2 - 4x - 6}{(2x - 1)^2} = \frac{-8}{(2x - 1)^2} $$
Vì $(2x - 1)^2 > 0$, nên $y'$ luôn âm, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng xác định.

3. $y=\frac{1}{x^2+1}$
Điều kiện xác định: $x \in \mathbb{R}$.
Ta có:
$$ y = \frac{1}{x^2 + 1} $$
Phân tích biểu thức:
$$ y = \frac{1}{x^2 + 1} $$
Tìm đạo hàm:
$$ y' = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2} $$
Đặt $y' = 0$:
$$ -2x = 0 \Rightarrow x = 0 $$
Kiểm tra các giá trị này trong điều kiện xác định và tính giá trị của $y$ tại các điểm cực trị.

4. $y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$
Điều kiện xác định: $x \neq \pm 1$.
Ta có:
$$ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $$
Phân tích biểu thức:
$$ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $$
Tìm đạo hàm:
$$ y' = \frac{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 - 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} $$
Đặt $y' = 0$:
$$ -4x = 0 \Rightarrow x = 0 $$
Kiểm tra các giá trị này trong điều kiện xác định và tính giá trị của $y$ tại các điểm cực trị.