jhdjdjdgdgdvdbdmsmdnddvvd $A.~S=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx.$ $B.~S=\int^c_af(x)dx-\int^b_cf(x)dx$,,$C.~S=\int^b_a|f(x)|dx.$ $D.~S=\int^c_af(x)dx+\int^c_bf(x)dx.$,Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]x$,, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,~x=8$ là $A.~\frac{45}2.$ $B.~\frac{45}4.C.\frac{45}7.$ $D.~\frac{45}8.$,Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=(x-2)^2-1,$ trục hoành và hai đường,thẳng $x=1,~x=2$ bằng $A.~\frac13.$ $B.~\frac23.$ $C.~\frac32.$ $D.~\frac73.$,Câu 8. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+1,x=-1,x=2$ và trục hoành.,$A.~S=16.$ $B.~S=6.$ $C.~S=\frac{13}6.$ $D.~S=13.$,Câu 9. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x,~y=1,~x=0,~x=2.$,Mệnh đề nào dưới đây sai?,$A.~S=\int^2_0|2^x-1|dx.$ $B.~S=\int^2_0|1-2^x|dx.$ $C.~S=\int^2_0(1-2^x)dx.$ $D.~S=\int^2_0(2^x-1)dx.$,Câu 10. Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=4+2x-x^2,~y=x^2,~x=-1,~x=2$ có diện tích là,A. 9 đvdt. B. 12 đvdt. C. 15 đvdt. D. 6 đvdt.,Câu 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=x^2+1,$ trục hoành và các đường thẳng,$x=0,~x=3.$ Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng,$A.~V=12p.$ $B.~V=\frac{348p}5.$ $C.~V=32p.$ $D.~V=9p.$,Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x,$ trục tung, trục hoành và,đường thẳng $x=p$ bằng A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.,A. Câu hỏi - Trả lời Đúng/sai,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;d]$ và có đồ thị,,như hình vẽ. Biết đồ thị $f(x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm,a,b,c,d, đồng thời tạo với trục hoành và 2 đường thẳng,$x=a,x=d$ thành một hình phẳng (H) gồm 3 phần có diện,tích lần lượt là $S_1,S_2,S_3$ như hình vẽ.,Xét tính đúng, sai của 4 mệnh đề sau:, ,Mệnh đề,, ,$(a)~S_1=\int^b_af(x)dx$,, ,$(b)~S_2=-\int^b_c|f(x)|dx$,, ,$(c)~S_3=-\int^d_cf(x)dx$,,

Question

jhdjdjdgdgdvdbdmsmdnddvvd $A.~S=\int^c_af(x)dx+\int^b_cf(x)dx.$ $B.~S=\int^c_af(x)dx-\int^b_cf(x)dx$,

,$C.~S=\int^b_a|f(x)|dx.$ $D.~S=\int^c_af(x)dx+\int^c_bf(x)dx.$,Câu 6. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt[3]x$,, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,~x=8$ là $A.~\frac{45}2.$ $B.~\frac{45}4.C.\frac{45}7.$ $D.~\frac{45}8.$,Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=(x-2)^2-1,$ trục hoành và hai đường,thẳng $x=1,~x=2$ bằng $A.~\frac13.$ $B.~\frac23.$ $C.~\frac32.$ $D.~\frac73.$,Câu 8. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2+1,x=-1,x=2$ và trục hoành.,$A.~S=16.$ $B.~S=6.$ $C.~S=\frac{13}6.$ $D.~S=13.$,Câu 9. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x,~y=1,~x=0,~x=2.$,Mệnh đề nào dưới đây sai?,$A.~S=\int^2_0|2^x-1|dx.$ $B.~S=\int^2_0|1-2^x|dx.$ $C.~S=\int^2_0(1-2^x)dx.$ $D.~S=\int^2_0(2^x-1)dx.$,Câu 10. Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=4+2x-x^2,~y=x^2,~x=-1,~x=2$ có diện tích là,A. 9 đvdt. B. 12 đvdt. C. 15 đvdt. D. 6 đvdt.,Câu 11. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=x^2+1,$ trục hoành và các đường thẳng,$x=0,~x=3.$ Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng,$A.~V=12p.$ $B.~V=\frac{348p}5.$ $C.~V=32p.$ $D.~V=9p.$,Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x,$ trục tung, trục hoành và,đường thẳng $x=p$ bằng A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.,A. Câu hỏi - Trả lời Đúng/sai,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[a;d]$ và có đồ thị,

,như hình vẽ. Biết đồ thị $f(x)$ cắt trục hoành tại 4 điểm,a,b,c,d, đồng thời tạo với trục hoành và 2 đường thẳng,$x=a,x=d$ thành một hình phẳng (H) gồm 3 phần có diện,tích lần lượt là $S_1,S_2,S_3$ như hình vẽ.,Xét tính đúng, sai của 4 mệnh đề sau:, ,Mệnh đề,, ,$(a)~S_1=\int^b_af(x)dx$,, ,$(b)~S_2=-\int^b_c|f(x)|dx$,, ,$(c)~S_3=-\int^d_cf(x)dx$,,

Accepted Answer

Câu 6.
Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 8$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân.
Hàm số: $y = \sqrt[3]{x}$
Khoảng tích phân: từ $x = 1$ đến $x = 8$

Bước 2: Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân.
Diện tích $A$ được tính bằng công thức:
$$ A = \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx $$

Bước 3: Tính tích phân.
$$ \int \sqrt[3]{x} \, dx = \int x^{\frac{1}{3}} \, dx $$
Áp dụng công thức tích phân cơ bản:
$$ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
Trong đó $n = \frac{1}{3}$:
$$ \int x^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} $$

Bước 4: Đánh giá tích phân tại các cận.
$$ A = \left[ \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right]_{1}^{8} $$
$$ A = \frac{3}{4} \left( 8^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}} \right) $$
$$ 8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16 $$
$$ 1^{\frac{4}{3}} = 1 $$
$$ A = \frac{3}{4} (16 - 1) = \frac{3}{4} \times 15 = \frac{45}{4} $$

Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 8$ là $\frac{45}{4}$.

Đáp án đúng là: B. $\frac{45}{4}$

Câu 7.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=(x-2)^2-1,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=1,~x=2$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định khoảng tích phân
- Đồ thị hàm số $y=(x-2)^2-1$ cắt trục hoành tại điểm $(1,0)$ và $(3,0)$.
- Do đó, ta cần tính diện tích từ $x=1$ đến $x=2$.

Bước 2: Tính diện tích bằng tích phân
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=(x-2)^2-1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,~x=2$ là:
$$ S = \int_{1}^{2} |(x-2)^2 - 1| \, dx $$

Bước 3: Tính tích phân
- Ta có:
$$ S = \int_{1}^{2} ((x-2)^2 - 1) \, dx $$
- Thực hiện phép tính tích phân:
$$ S = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} - x \right]_{1}^{2} $$
- Thay cận vào:
$$ S = \left( \frac{(2-2)^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{(1-2)^3}{3} - 1 \right) $$
$$ S = \left( 0 - 2 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1 \right) $$
$$ S = -2 + \frac{1}{3} + 1 $$
$$ S = -1 + \frac{1}{3} $$
$$ S = -\frac{3}{3} + \frac{1}{3} $$
$$ S = -\frac{2}{3} $$

Do diện tích không thể âm, ta lấy giá trị tuyệt đối:
$$ S = \frac{2}{3} $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=(x-2)^2-1,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=1,~x=2$ là $\frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: B. $\frac{2}{3}$.

Câu 8.
Để tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + 1 $, $ x = -1 $, $ x = 2 $ và trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định khoảng tích phân:
   - Giới hạn trên là $ x = 2 $.
   - Giới hạn dưới là $ x = -1 $.

2. Tích phân hàm số $ y = x^2 + 1 $ từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $:
   $$
   S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \, dx
   $$

3. Tính tích phân từng phần:
   $$
   \int (x^2 + 1) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 1 \, dx
   $$
   $$
   = \frac{x^3}{3} + x + C
   $$

4. Áp dụng cận trên và cận dưới vào kết quả tích phân:
   $$
   S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{2}
   $$
   $$
   = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1) \right)
   $$
   $$
   = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1 \right)
   $$
   $$
   = \left( \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right) - \left( \frac{-1}{3} - \frac{3}{3} \right)
   $$
   $$
   = \left( \frac{14}{3} \right) - \left( \frac{-4}{3} \right)
   $$
   $$
   = \frac{14}{3} + \frac{4}{3}
   $$
   $$
   = \frac{18}{3}
   $$
   $$
   = 6
   $$

Vậy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^2 + 1 $, $ x = -1 $, $ x = 2 $ và trục hoành là $ S = 6 $.

Đáp án đúng là: B. $ S = 6 $.

Câu 9.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xác định diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = 2^x $, $ y = 1 $, $ x = 0 $, và $ x = 2 $.

Bước 1: Xác định các điểm giao và vẽ sơ đồ.
- Đường $ y = 2^x $ cắt đường $ y = 1 $ tại điểm $ x = 0 $ vì $ 2^0 = 1 $.
- Từ $ x = 0 $ đến $ x = 2 $, đường $ y = 2^x $ luôn nằm trên đường $ y = 1 $.

Bước 2: Xác định diện tích S.
Diện tích S sẽ là diện tích giữa hai đường $ y = 2^x $ và $ y = 1 $ từ $ x = 0 $ đến $ x = 2 $. Do đó, diện tích S có thể được tính bằng tích phân của hiệu giữa hai hàm số này trong khoảng từ 0 đến 2.

$$ S = \int_{0}^{2} (2^x - 1) \, dx $$

Bước 3: Kiểm tra các mệnh đề:
A. $ S = \int_{0}^{2} |2^x - 1| \, dx $
- Vì $ 2^x \geq 1 $ trong khoảng từ 0 đến 2, nên $ |2^x - 1| = 2^x - 1 $. Mệnh đề này đúng.

B. $ S = \int_{0}^{2} |1 - 2^x| \, dx $
- Vì $ 2^x \geq 1 $ trong khoảng từ 0 đến 2, nên $ |1 - 2^x| = 2^x - 1 $. Mệnh đề này đúng.

C. $ S = \int_{0}^{2} (1 - 2^x) \, dx $
- Đây là tích phân của hiệu giữa $ 1 $ và $ 2^x $, nhưng do $ 2^x \geq 1 $, nên $ 1 - 2^x $ luôn âm trong khoảng từ 0 đến 2. Mệnh đề này sai.

D. $ S = \int_{0}^{2} (2^x - 1) \, dx $
- Đây là tích phân của hiệu giữa $ 2^x $ và $ 1 $, đúng theo cách tính diện tích đã xác định. Mệnh đề này đúng.

Kết luận: Mệnh đề sai là C. $ S = \int_{0}^{2} (1 - 2^x) \, dx $.

Câu 10.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = 4 + 2x - x^2 $, $ y = x^2 $, $ x = -1 $, và $ x = 2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường parabol:
   Ta giải phương trình:
   $$
   4 + 2x - x^2 = x^2
   $$
   $$
   4 + 2x - x^2 - x^2 = 0
   $$
   $$
   4 + 2x - 2x^2 = 0
   $$
   $$
   2x^2 - 2x - 4 = 0
   $$
   Chia cả hai vế cho 2:
   $$
   x^2 - x - 2 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $$
   x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{1 \pm 3}{2}
   $$
   Vậy ta có hai nghiệm:
   $$
   x_1 = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = -1
   $$

2. Tính diện tích hình phẳng:
   Diện tích $ S $ giữa hai đường $ y = 4 + 2x - x^2 $ và $ y = x^2 $ từ $ x = -1 $ đến $ x = 2 $ được tính bằng tích phân:
   $$
   S = \int_{-1}^{2} \left[ (4 + 2x - x^2) - x^2 \right] \, dx
   $$
   $$
   S = \int_{-1}^{2} (4 + 2x - 2x^2) \, dx
   $$

3. Tính tích phân:
   $$
   S = \int_{-1}^{2} (4 + 2x - 2x^2) \, dx
   $$
   Tính từng phần:
   $$
   \int_{-1}^{2} 4 \, dx = 4x \Big|_{-1}^{2} = 4(2) - 4(-1) = 8 + 4 = 12
   $$
   $$
   \int_{-1}^{2} 2x \, dx = x^2 \Big|_{-1}^{2} = 2^2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
   $$
   $$
   \int_{-1}^{2} -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3 \Big|_{-1}^{2} = -\frac{2}{3}(2^3) + \frac{2}{3}((-1)^3) = -\frac{16}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{14}{3}
   $$

Cộng lại:
   $$
   S = 12 + 3 - \frac{14}{3} = 15 - \frac{14}{3} = \frac{45}{3} - \frac{14}{3} = \frac{31}{3}
   $$

Như vậy, diện tích hình phẳng là $ \frac{31}{3} $ đơn vị diện tích.

Đáp án: C. 15 đvdt.

Câu 11.
Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = x^2 + 1$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$ và $x = 3$ quanh trục hoành, ta sử dụng công thức thể tích của khối tròn xoay:

$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$

Trong đó:
- $f(x) = x^2 + 1$
- Giới hạn tích phân từ $a = 0$ đến $b = 3$

Bước 1: Tính $[f(x)]^2$:
$$ [f(x)]^2 = (x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 $$

Bước 2: Tính tích phân:
$$ V = \pi \int_{0}^{3} (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx $$

Bước 3: Tính từng phần của tích phân:
$$ \int_{0}^{3} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} = \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} = \frac{243}{5} $$
$$ \int_{0}^{3} 2x^2 \, dx = 2 \int_{0}^{3} x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 2 \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 2 \cdot 9 = 18 $$
$$ \int_{0}^{3} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{3} = 3 - 0 = 3 $$

Bước 4: Cộng các kết quả lại:
$$ V = \pi \left( \frac{243}{5} + 18 + 3 \right) = \pi \left( \frac{243}{5} + \frac{90}{5} + \frac{15}{5} \right) = \pi \left( \frac{348}{5} \right) = \frac{348\pi}{5} $$

Vậy thể tích V của khối tròn xoay là:
$$ V = \frac{348\pi}{5} $$

Đáp án đúng là: B. $V = \frac{348\pi}{5}$.

Câu 12.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \cos x$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = p$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định khoảng tích phân:
   - Trục tung là $x = 0$.
   - Đường thẳng $x = p$.
   - Do đó, khoảng tích phân là từ $0$ đến $p$.

2. Tính diện tích:
   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \cos x$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = p$ được tính bằng tích phân:
   $$
   S = \int_{0}^{p} |\cos x| \, dx
   $$

3. Xét dấu của $\cos x$:
   - Trên khoảng $[0, \pi/2]$, $\cos x \geq 0$.
   - Trên khoảng $[\pi/2, \pi]$, $\cos x \leq 0$.
   - Trên khoảng $[\pi, 3\pi/2]$, $\cos x \leq 0$.
   - Trên khoảng $[3\pi/2, 2\pi]$, $\cos x \geq 0$.
   - Vì vậy, ta cần chia khoảng tích phân thành các đoạn nhỏ hơn để tính tích phân đúng.

4. Tính tích phân từng đoạn:
   - Nếu $p = \pi/2$, thì:
     $$
     S = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1
     $$
   - Nếu $p = \pi$, thì:
     $$
     S = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\cos x) \, dx
     $$
     $$
     = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi/2} + \left[ -\sin x \right]_{\pi/2}^{\pi}
     $$
     $$
     = (\sin(\pi/2) - \sin(0)) + (-\sin(\pi) + \sin(\pi/2))
     $$
     $$
     = (1 - 0) + (0 + 1) = 1 + 1 = 2
     $$

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \cos x$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = p$ là 2.

Đáp án đúng là: C. 2.

Câu 13.
Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ phân tích từng mệnh đề dựa vào đồ thị và công thức tính diện tích dưới đồ thị hàm số.

(a) $S_1 = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

- Diện tích $S_1$ là diện tích hình phẳng nằm phía trên trục hoành từ $x = a$ đến $x = b$. 
- Nếu $f(x) > 0$ trong khoảng $(a, b)$, thì $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ chính là diện tích này.
- Do đó, mệnh đề này là Đúng.

(b) $S_2 = -\int_{b}^{c} |f(x)| \, dx$

- Diện tích $S_2$ là diện tích hình phẳng nằm phía dưới trục hoành từ $x = b$ đến $x = c$.
- Nếu $f(x) < 0$ trong khoảng $(b, c)$, thì $\int_{b}^{c} f(x) \, dx$ sẽ là một số âm, và $-\int_{b}^{c} f(x) \, dx$ sẽ là diện tích này.
- Tuy nhiên, $|f(x)|$ là giá trị tuyệt đối của $f(x)$, do đó $\int_{b}^{c} |f(x)| \, dx$ sẽ là diện tích này nhưng không cần dấu trừ.
- Do đó, mệnh đề này là Sai.

(c) $S_3 = -\int_{c}^{d} f(x) \, dx$

- Diện tích $S_3$ là diện tích hình phẳng nằm phía trên trục hoành từ $x = c$ đến $x = d$.
- Nếu $f(x) > 0$ trong khoảng $(c, d)$, thì $\int_{c}^{d} f(x) \, dx$ chính là diện tích này.
- Do đó, $-\int_{c}^{d} f(x) \, dx$ sẽ là số âm, không phải diện tích.
- Do đó, mệnh đề này là Sai.

Tóm lại:
- Mệnh đề (a) là Đúng.
- Mệnh đề (b) là Sai.
- Mệnh đề (c) là Sai.