giúpppppppppppppp Bài 1: Cho biểu thức: $P=(\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac{3x+3}{x-9}):(\frac{2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1)$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P,Bài 2: Cho biểu thức $P=\frac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}-\frac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}+1$,a/ Rút gọn P,Bài 3: Cho biểu thức: $P=[(\frac1{\sqrt x}+\frac1{\sqrt y})\frac2{\sqrt x+\sqrt y}+\frac1x+\frac1y]:\frac{\sqrt{x^3}+y\sqrt x+x\sqrt y+\sqrt{y^3}}{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}$,a/ Rút gọn P,b/ Cho $x.y=16.$ Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất,Bài 4: Cho biểu thức $P=\frac1{\sqrt x+2}-\frac5{x-\sqrt x-6}-\frac{\sqrt x-2}{3-\sqrt x}$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm GTLN của P.,Bài 5: Cho biểu thức: $P=(\frac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt{xy}}):(1+\frac{x+y+2xy}{1-xy})$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm GTLN của P.,Bài 6: Cho biểu thức: $P=\frac{x\sqrt x-3}{x-2\sqrt x-3}-\frac{2(\sqrt x-3)}{\sqrt x+1}+\frac{\sqrt x+3}{3-\sqrt x}$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P,Bài 7: Xét biểu thức $P=(\frac{\sqrt x-2}{x-1}-\frac{\sqrt x+2}{x+2\sqrt x+1}).\frac{(1-x)^2}2$,a) Rút gọn P.,b) Tìm giá trị lơn nhất của P.,Bài 8: Xét biểu thức $A=\frac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}-\frac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}+1.$,a) Rút gọn A.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.,Bài 9: Cho biểu thức $P=\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt2}$,a) Rút gọn P.,b) Tính giá trị nhỏ nhất của P.,Bài 10: Cho biểu thứ $A=(\frac1{\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}):\frac{\sqrt x}{x+\sqrt x}$ với $x0$,a) Rút gọn A.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Question

giúpppppppppppppp Bài 1: Cho biểu thức: $P=(\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac{3x+3}{x-9}):(\frac{2\sqrt x-2}{\sqrt x-3}-1)$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P,Bài 2: Cho biểu thức $P=\frac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}-\frac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}+1$,a/ Rút gọn P,Bài 3: Cho biểu thức: $P=[(\frac1{\sqrt x}+\frac1{\sqrt y})\frac2{\sqrt x+\sqrt y}+\frac1x+\frac1y]:\frac{\sqrt{x^3}+y\sqrt x+x\sqrt y+\sqrt{y^3}}{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}$,a/ Rút gọn P,b/ Cho $x.y=16.$ Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất,Bài 4: Cho biểu thức $P=\frac1{\sqrt x+2}-\frac5{x-\sqrt x-6}-\frac{\sqrt x-2}{3-\sqrt x}$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm GTLN của P.,Bài 5: Cho biểu thức: $P=(\frac{\sqrt x+\sqrt y}{1-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt x-\sqrt y}{1+\sqrt{xy}}):(1+\frac{x+y+2xy}{1-xy})$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm GTLN của P.,Bài 6: Cho biểu thức: $P=\frac{x\sqrt x-3}{x-2\sqrt x-3}-\frac{2(\sqrt x-3)}{\sqrt x+1}+\frac{\sqrt x+3}{3-\sqrt x}$,a/ Rút gọn P,b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P,Bài 7: Xét biểu thức $P=(\frac{\sqrt x-2}{x-1}-\frac{\sqrt x+2}{x+2\sqrt x+1}).\frac{(1-x)^2}2$,a) Rút gọn P.,b) Tìm giá trị lơn nhất của P.,Bài 8: Xét biểu thức $A=\frac{a^2+\sqrt a}{a-\sqrt a+1}-\frac{2a+\sqrt a}{\sqrt a}+1.$,a) Rút gọn A.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.,Bài 9: Cho biểu thức $P=\frac{x-3}{\sqrt{x-1}-\sqrt2}$,a) Rút gọn P.,b) Tính giá trị nhỏ nhất của P.,Bài 10: Cho biểu thứ $A=(\frac1{\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}):\frac{\sqrt x}{x+\sqrt x}$ với $x>0$,a) Rút gọn A.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Accepted Answer

Bài 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a/ Rút gọn biểu thức $ P $

Điều kiện xác định: $ x > 0 $ và $ x \neq 9 $.

Biểu thức $ P $ là:
$$ P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{3x+3}{x-9} \right) : \left( \frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3} - 1 \right) $$

Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ P $

Phân thức thứ nhất:
$$ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} $$

Phân thức thứ hai:
$$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} $$

Phân thức thứ ba:
$$ \frac{3x+3}{x-9} = \frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)} $$

Phân thức thứ tư:
$$ \frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3} - 1 = \frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-3} - 1 = \frac{2(\sqrt{x}-1) - (\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}-3} = \frac{2\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}-3} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}-3} $$

Bước 2: Rút gọn biểu thức $ P $

Biểu thức $ P $ trở thành:
$$ P = \left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}-3} $$

Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức trong ngoặc trước:
$$ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{3(x+1)}{(x-3)(x+3)} $$

Quy đồng mẫu số chung:
$$ \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) + \sqrt{x}(\sqrt{x}+3) - 3(x+1)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} $$
$$ = \frac{2x - 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} - 3x - 3}{x-9} $$
$$ = \frac{-3\sqrt{x} - 3}{x-9} $$
$$ = \frac{-3(\sqrt{x} + 1)}{x-9} $$

Do đó:
$$ P = \frac{-3(\sqrt{x} + 1)}{x-9} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}-3} $$
$$ = \frac{-3(\sqrt{x} + 1)}{x-9} \times \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x} + 1} $$
$$ = \frac{-3(\sqrt{x}-3)}{x-9} $$
$$ = \frac{-3(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} $$
$$ = \frac{-3}{\sqrt{x}+3} $$

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $

Biểu thức rút gọn của $ P $ là:
$$ P = \frac{-3}{\sqrt{x}+3} $$

Ta thấy rằng $ \sqrt{x} + 3 \geq 3 $ (vì $ \sqrt{x} \geq 0 $).

Do đó:
$$ \frac{-3}{\sqrt{x}+3} \leq \frac{-3}{3} = -1 $$

Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $-1$ và đạt được khi $ \sqrt{x} = 0 $, tức là $ x = 0 $.

Tuy nhiên, do điều kiện $ x > 0 $, giá trị nhỏ nhất của $ P $ không thể đạt được tại $ x = 0 $. Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $-1$ khi $ x \to 0^+ $.

Đáp số:
a/ $ P = \frac{-3}{\sqrt{x}+3} $
b/ Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $-1$.

Bài 2:
Để rút gọn biểu thức $ P = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - \frac{2a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 1 $, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- $ a \geq 0 $ vì $ \sqrt{a} $ phải có nghĩa.
- $ a \neq 1 $ để mẫu số $ a - \sqrt{a} + 1 $ không bằng 0.

Bước 2: Rút gọn từng phân thức
Phân thức thứ nhất:
$$ \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} $$

Phân thức thứ hai:
$$ \frac{2a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{2a}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + 1 $$

Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu
$$ P = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - (2\sqrt{a} + 1) + 1 $$
$$ P = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - 2\sqrt{a} - 1 + 1 $$
$$ P = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - 2\sqrt{a} $$

Bước 4: Rút gọn biểu thức
Chúng ta thấy rằng phân thức $ \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} $ có thể được viết lại dưới dạng:
$$ \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} $$

Tuy nhiên, để rút gọn biểu thức này, chúng ta cần tìm cách đơn giản hóa nó. Chúng ta có thể thử nhân tử chung hoặc biến đổi khác, nhưng ở đây chúng ta nhận thấy rằng biểu thức đã được đơn giản hóa tối đa.

Kết luận
Biểu thức $ P $ đã được rút gọn thành:
$$ P = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - 2\sqrt{a} $$

Đáp số: $ P = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - 2\sqrt{a} $

Bài 3:
a/ Rút gọn biểu thức $P$:
Điều kiện xác định: $x > 0$, $y > 0$.

Ta có:
$$ P = \left[ \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] : \frac{\sqrt{x^3} + y\sqrt{x} + x\sqrt{y} + \sqrt{y^3}}{\sqrt{x^3y} + \sqrt{xy^3}} $$

Rút gọn từng phần:
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy}} $$
$$ \left( \frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy}} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{2}{\sqrt{xy}} $$

Do đó:
$$ \frac{2}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy}} = \frac{2 + \sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy}} $$

Phân mẫu số:
$$ \sqrt{x^3} + y\sqrt{x} + x\sqrt{y} + \sqrt{y^3} = \sqrt{x}\sqrt{x^2} + y\sqrt{x} + x\sqrt{y} + \sqrt{y}\sqrt{y^2} = \sqrt{x}(x + y) + \sqrt{y}(x + y) = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x + y) $$

Phân mẫu số:
$$ \sqrt{x^3y} + \sqrt{xy^3} = \sqrt{x^2y}\sqrt{x} + \sqrt{xy^2}\sqrt{y} = \sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) $$

Do đó:
$$ \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x + y)}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{x + y}{\sqrt{xy}} $$

Vậy:
$$ P = \frac{\frac{2 + \sqrt{y} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy}}}{\frac{x + y}{\sqrt{xy}}} = \frac{2 + \sqrt{y} + \sqrt{x}}{x + y} $$

b/ Xác định $x, y$ để $P$ có giá trị nhỏ nhất:
Biểu thức $P$ đã rút gọn thành:
$$ P = \frac{2 + \sqrt{y} + \sqrt{x}}{x + y} $$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \leq 2(x + y) $$
$$ \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{2(x + y)} $$

Do đó:
$$ 2 + \sqrt{y} + \sqrt{x} \leq 2 + \sqrt{2(x + y)} $$

Từ đây ta thấy:
$$ P = \frac{2 + \sqrt{y} + \sqrt{x}}{x + y} \geq \frac{2 + \sqrt{2(x + y)}}{x + y} $$

Để $P$ nhỏ nhất, ta cần $\sqrt{y} + \sqrt{x}$ nhỏ nhất, tức là $x = y$. Vì $xy = 16$, nên $x = y = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là:
$$ P_{min} = \frac{2 + \sqrt{4} + \sqrt{4}}{4 + 4} = \frac{2 + 2 + 2}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$

Đáp số: $P_{min} = \frac{3}{4}$, đạt được khi $x = y = 4$.

Bài 4:
a/ Rút gọn biểu thức $P$:
Điều kiện xác định: $x \geq 0$, $x \neq 4$, $x \neq 9$.

Ta có:
$$ P = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{5}{x - \sqrt{x} - 6} - \frac{\sqrt{x} - 2}{3 - \sqrt{x}} $$

Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân liên hợp để rút gọn từng phân thức:
$$ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$

$$ \frac{5}{x - \sqrt{x} - 6} = \frac{5}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 2)} $$

$$ \frac{\sqrt{x} - 2}{3 - \sqrt{x}} = \frac{-(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} - 3} = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $$

Do đó:
$$ P = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} - \frac{5}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $$

Nhóm lại các phân thức có cùng mẫu số:
$$ P = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} - \frac{5}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 2)} - \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $$

b/ Tìm giá trị lớn nhất của $P$:
Chúng ta thấy rằng biểu thức $P$ đã được rút gọn thành dạng tổng của các phân thức. Để tìm giá trị lớn nhất của $P$, chúng ta cần xem xét các giới hạn của các biến và các giá trị đặc biệt của $x$.

Tuy nhiên, việc tìm giá trị lớn nhất của $P$ thông qua phương pháp đơn giản như trên có thể phức tạp. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị đặc biệt của $x$ để tìm giá trị lớn nhất của $P$.

Ví dụ, nếu $x = 9$:
$$ P = \frac{1}{\sqrt{9} + 2} - \frac{5}{9 - \sqrt{9} - 6} - \frac{\sqrt{9} - 2}{3 - \sqrt{9}} $$
$$ P = \frac{1}{3 + 2} - \frac{5}{9 - 3 - 6} - \frac{3 - 2}{3 - 3} $$
$$ P = \frac{1}{5} - \frac{5}{0} - \frac{1}{0} $$

Do đó, $x = 9$ không thỏa mãn điều kiện xác định. Ta thử các giá trị khác như $x = 4$:
$$ P = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} - \frac{5}{4 - \sqrt{4} - 6} - \frac{\sqrt{4} - 2}{3 - \sqrt{4}} $$
$$ P = \frac{1}{2 + 2} - \frac{5}{4 - 2 - 6} - \frac{2 - 2}{3 - 2} $$
$$ P = \frac{1}{4} - \frac{5}{-4} - \frac{0}{1} $$
$$ P = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{3}{2}$, đạt được khi $x = 4$.

Bài 5:
a) Rút gọn biểu thức $ P $:

Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $, $ xy \neq 1 $.

Ta có:
$$ P = \left( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}} \right) : \left( 1 + \frac{x + y + 2xy}{1 - xy} \right) $$

Tính tổng của hai phân thức trong ngoặc đầu tiên:
$$ \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}} = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(1 + \sqrt{xy}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y})(1 - \sqrt{xy})}{(1 - \sqrt{xy})(1 + \sqrt{xy})} $$
$$ = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{xy}\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{xy}\sqrt{y} + \sqrt{x} - \sqrt{xy}\sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{xy}\sqrt{y}}{1 - xy} $$
$$ = \frac{2\sqrt{x} + 2\sqrt{y}}{1 - xy} $$
$$ = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{1 - xy} $$

Bây giờ, ta tính biểu thức trong ngoặc thứ hai:
$$ 1 + \frac{x + y + 2xy}{1 - xy} = \frac{(1 - xy) + (x + y + 2xy)}{1 - xy} $$
$$ = \frac{1 - xy + x + y + 2xy}{1 - xy} $$
$$ = \frac{1 + x + y + xy}{1 - xy} $$

Do đó:
$$ P = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{1 - xy} : \frac{1 + x + y + xy}{1 - xy} $$
$$ = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{1 - xy} \times \frac{1 - xy}{1 + x + y + xy} $$
$$ = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{1 + x + y + xy} $$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $ P $:

Biểu thức $ P = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{1 + x + y + xy} $.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \leq (1 + 1)(x + y) $$
$$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \leq 2(x + y) $$
$$ \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{2(x + y)} $$

Do đó:
$$ P = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{1 + x + y + xy} \leq \frac{2\sqrt{2(x + y)}}{1 + x + y + xy} $$

Để tìm giá trị lớn nhất của $ P $, ta xét trường hợp $ x = y $:
$$ P = \frac{2(2\sqrt{x})}{1 + 2x + x^2} = \frac{4\sqrt{x}}{1 + 2x + x^2} $$

Gọi $ t = \sqrt{x} $, ta có:
$$ P = \frac{4t}{1 + 2t^2 + t^4} $$

Đặt $ f(t) = \frac{4t}{1 + 2t^2 + t^4} $.

Để tìm giá trị lớn nhất của $ f(t) $, ta xét đạo hàm:
$$ f'(t) = \frac{4(1 + 2t^2 + t^4) - 4t(4t + 4t^3)}{(1 + 2t^2 + t^4)^2} $$
$$ = \frac{4 + 8t^2 + 4t^4 - 16t^2 - 16t^4}{(1 + 2t^2 + t^4)^2} $$
$$ = \frac{4 - 8t^2 - 12t^4}{(1 + 2t^2 + t^4)^2} $$

Đặt $ f'(t) = 0 $:
$$ 4 - 8t^2 - 12t^4 = 0 $$
$$ 1 - 2t^2 - 3t^4 = 0 $$
$$ 3t^4 + 2t^2 - 1 = 0 $$

Giải phương trình bậc bốn này, ta tìm được $ t = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Thay $ t = \frac{1}{\sqrt{3}} $ vào $ f(t) $:
$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 2 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^4} $$
$$ = \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{9}} $$
$$ = \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{9 + 6 + 1}{9}} $$
$$ = \frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{16}{9}} $$
$$ = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{9}{16} $$
$$ = \frac{36}{16\sqrt{3}} $$
$$ = \frac{9}{4\sqrt{3}} $$
$$ = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$

Vậy giá trị lớn nhất của $ P $ là $ \frac{3\sqrt{3}}{4} $, đạt được khi $ x = y = \frac{1}{3} $.

Đáp số: 
a) $ P = \frac{2(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{1 + x + y + xy} $
b) Giá trị lớn nhất của $ P $ là $ \frac{3\sqrt{3}}{4} $, đạt được khi $ x = y = \frac{1}{3} $.

Bài 6:
a/ Rút gọn biểu thức $ P $:

Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 9 $ (vì $ x - 2\sqrt{x} - 3 \neq 0 $).

Ta có:
$$ P = \frac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}} $$

Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức một.

Phân thức đầu tiên:
$$ \frac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} $$
Nhận thấy rằng $ x - 2\sqrt{x} - 3 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1) $, nên:
$$ \frac{x\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $$

Phân thức thứ hai:
$$ \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} $$

Phân thức thứ ba:
$$ \frac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} $$

Gộp lại:
$$ P = \frac{x\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} $$

Tìm mẫu chung:
$$ P = \frac{x\sqrt{x} - 3 - 2(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} - 3) - (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $$

Rút gọn:
$$ P = \frac{x\sqrt{x} - 3 - 2(x - 6\sqrt{x} + 9) - (x + 4\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $$
$$ P = \frac{x\sqrt{x} - 3 - 2x + 12\sqrt{x} - 18 - x - 4\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $$
$$ P = \frac{-2x + 8\sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $$
$$ P = \frac{-2(x - 4\sqrt{x} + 12)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $$

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $:

Chúng ta nhận thấy rằng biểu thức $ P $ đã được rút gọn thành:
$$ P = \frac{-2(x - 4\sqrt{x} + 12)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $, chúng ta cần xem xét biểu thức $ x - 4\sqrt{x} + 12 $.

Gọi $ t = \sqrt{x} $, ta có:
$$ x = t^2 $$
$$ P = \frac{-2(t^2 - 4t + 12)}{(t - 3)(t + 1)} $$

Biểu thức $ t^2 - 4t + 12 $ là một tam thức bậc hai, ta có thể viết lại dưới dạng:
$$ t^2 - 4t + 12 = (t - 2)^2 + 8 $$

Do đó:
$$ P = \frac{-2((t - 2)^2 + 8)}{(t - 3)(t + 1)} $$

Giá trị nhỏ nhất của $ (t - 2)^2 $ là 0, xảy ra khi $ t = 2 $. Do đó:
$$ P = \frac{-2(0 + 8)}{(2 - 3)(2 + 1)} = \frac{-16}{-3} = \frac{16}{3} $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \frac{16}{3} $, đạt được khi $ t = 2 $ hay $ x = 4 $.

Đáp số:
a/ $ P = \frac{-2(x - 4\sqrt{x} + 12)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)} $
b/ Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \frac{16}{3} $, đạt được khi $ x = 4 $.

Bài 7:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Rút gọn biểu thức $ P $

Biểu thức $ P $ được cho là:
$$ P = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x + 2\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \frac{(1 - x)^2}{2} $$

Đầu tiên, ta cần tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- $ x \geq 0 $ để căn bậc hai $ \sqrt{x} $ có nghĩa.
- $ x \neq 1 $ để mẫu số $ x - 1 $ không bằng 0.
- $ x \neq -2\sqrt{x} - 1 $ để mẫu số $ x + 2\sqrt{x} + 1 $ không bằng 0.

Do đó, ĐKXĐ là:
$$ x \geq 0, \quad x \neq 1 $$

Tiếp theo, ta rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ P $:

1. Ta có:
$$ x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) $$

2. Ta cũng có:
$$ x + 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} + 1)^2 $$

Do đó, biểu thức $ P $ trở thành:
$$ P = \left( \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} \right) \cdot \frac{(1 - x)^2}{2} $$

Ta quy đồng hai phân thức trong ngoặc:
$$ \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} $$

Tính tử số:
$$ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x}^2 + \sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x}^2 - \sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 2) $$
$$ = (x - \sqrt{x} - 2) - (x + \sqrt{x} - 2) $$
$$ = x - \sqrt{x} - 2 - x - \sqrt{x} + 2 $$
$$ = -2\sqrt{x} $$

Do đó:
$$ P = \frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \cdot \frac{(1 - x)^2}{2} $$

Chú ý rằng:
$$ (1 - x)^2 = (x - 1)^2 $$

Vậy:
$$ P = \frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} \cdot \frac{(x - 1)^2}{2} $$
$$ = \frac{-2\sqrt{x}(x - 1)^2}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} $$
$$ = \frac{-\sqrt{x}(x - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)^2} $$

b) Tìm giá trị lớn nhất của $ P $

Ta thấy rằng biểu thức $ P $ có dạng phức tạp và khó khăn để tìm giá trị lớn nhất trực tiếp. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy rằng khi $ x \to 0 $, biểu thức $ P $ sẽ tiến gần đến 0. Khi $ x \to 1 $, biểu thức $ P $ sẽ tiến đến vô cực do mẫu số tiến đến 0.

Do đó, ta cần kiểm tra các giá trị cận biên và các điểm đặc biệt để tìm giá trị lớn nhất của $ P $.

Khi $ x = 0 $:
$$ P = \frac{-\sqrt{0}(0 - 1)^2}{(\sqrt{0} - 1)(\sqrt{0} + 1)^2} = 0 $$

Khi $ x \to 1 $:
$$ P \to \infty $$

Do đó, giá trị lớn nhất của $ P $ không bị giới hạn và tiến đến vô cực khi $ x \to 1 $.

Kết luận:
Giá trị lớn nhất của $ P $ là vô cực, đạt được khi $ x \to 1 $.

Bài 8:
a) Rút gọn biểu thức $A$:
Điều kiện xác định: $a \geq 0$ và $a \neq 1$ (vì mẫu số $a - \sqrt{a} + 1 \neq 0$).

Ta có:
$$ A = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - \frac{2a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} + 1 $$

Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức này.

Phần đầu tiên:
$$ \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} $$

Phần thứ hai:
$$ \frac{2a + \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{2a}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = 2\sqrt{a} + 1 $$

Vậy:
$$ A = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - (2\sqrt{a} + 1) + 1 $$
$$ A = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - 2\sqrt{a} $$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $A$:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $A$, chúng ta cần xem xét biểu thức đã rút gọn:
$$ A = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - 2\sqrt{a} $$

Chúng ta sẽ thử các giá trị của $a$ để tìm giá trị nhỏ nhất của $A$. Ta thử với $a = 0$:
$$ A = \frac{0^2 + \sqrt{0}}{0 - \sqrt{0} + 1} - 2\sqrt{0} = \frac{0}{1} - 0 = 0 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là 0, đạt được khi $a = 0$.

Đáp số: 
a) $A = \frac{a^2 + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1} - 2\sqrt{a}$
b) Giá trị nhỏ nhất của $A$ là 0, đạt được khi $a = 0$.

Bài 9:
a) Rút gọn biểu thức $ P $:
$$ P = \frac{x-3}{\sqrt{x-1} - \sqrt{2}} $$

Nhân tử ở tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:
$$ P = \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{(\sqrt{x-1} - \sqrt{2})(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})} $$
$$ P = \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{(x-1) - 2} $$
$$ P = \frac{(x-3)(\sqrt{x-1} + \sqrt{2})}{x-3} $$

Do $ x \neq 3 $, ta có thể rút gọn:
$$ P = \sqrt{x-1} + \sqrt{2} $$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $:
$$ P = \sqrt{x-1} + \sqrt{2} $$

Biểu thức $ \sqrt{x-1} $ luôn dương hoặc bằng 0 khi $ x \geq 1 $. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ \sqrt{x-1} $ là 0, xảy ra khi $ x = 1 $.

Thay $ x = 1 $ vào biểu thức $ P $:
$$ P = \sqrt{1-1} + \sqrt{2} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2} $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \sqrt{2} $, đạt được khi $ x = 1 $.

Đáp số:
a) $ P = \sqrt{x-1} + \sqrt{2} $
b) Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \sqrt{2} $, đạt được khi $ x = 1 $.

Bài 10:
a) Rút gọn biểu thức $ A $:

Điều kiện xác định: $ x > 0 $

Ta có:
$$ A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} $$

Rút gọn từng phần:
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{x} $$
$$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} $$

Tổng của hai phân số:
$$ \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x} \cdot x}{x(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + \sqrt{x} + x\sqrt{x}}{x(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + \sqrt{x}(1 + x)}{x(\sqrt{x} + 1)} = \frac{(x + \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})}{x(\sqrt{x} + 1)} = \frac{x + \sqrt{x}}{x} $$

Phân thức chia:
$$ \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} $$

Do đó:
$$ A = \left( \frac{x + \sqrt{x}}{x} \right) \times (\sqrt{x} + 1) = \frac{x + \sqrt{x}}{x} \times \frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 1 $$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $ A $:

Biểu thức rút gọn thành:
$$ A = \sqrt{x} + 1 $$

Giá trị nhỏ nhất của $ \sqrt{x} $ là 0 (khi $ x = 0 $), nhưng do $ x > 0 $, nên $ \sqrt{x} $ luôn lớn hơn 0. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ A $ là:
$$ A_{min} = 1 $$

Đáp số:
a) $ A = \sqrt{x} + 1 $
b) Giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 1.