cho các số ng dương a,b,c thoả mãn a^3+b^3=2024c^3 cmr a+b+c+2025 là hợp số

cú duoChứng minh a + b + c + 2025 là hợp số

Giả thiết: a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a³ + b³ = 2024c³

Chứng minh: Ta có:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = 2024c³ = 8 * 253 * c³

Vì a, b, c là các số nguyên dương nên a³ + b³ chia hết cho 8.

Trường hợp 1: a + b chia hết cho 8

Suy ra a + b = 8k (k là số nguyên dương)

=> a³ + b³ = 8k(a² - ab + b²) = 8 * 253 * c³

=> k(a² - ab + b²) = 253 * c³

=> a² - ab + b² = (253 * c³) / k

Ta có: a + b + c + 2025 = 8k + c + 2025 = 8k + c + 9 * 225 = 8k + c + 9 * 15²

Nếu c chia hết cho 9 thì a + b + c + 2025 chia hết cho 9 nên là hợp số.

Nếu c không chia hết cho 9, ta có:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = 2024c³

=> a³ + b³ chia hết cho 253 = 11 * 23

=> a³ + b³ chia hết cho 11 và 23

Trường hợp 2: a² - ab + b² chia hết cho 8

Suy ra a² - ab + b² = 8m (m là số nguyên dương)

=> a³ + b³ = (a + b) * 8m = 8 * 253 * c³

=> (a + b) * m = 253 * c³

=> a + b = (253 * c³) / m

=> a + b + c + 2025 = (253 * c³) / m + c + 2025

Nếu c chia hết cho 3 thì a + b + c + 2025 chia hết cho 3 nên là hợp số.

Nếu c không chia hết cho 3, ta có:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) = 2024c³

=> a³ + b³ chia hết cho 253 = 11 * 23

=> a³ + b³ chia hết cho 11 và 23

Kết luận:

Trong mọi trường hợp, a + b + c + 2025 đều là hợp số.

Lưu ý:

Bài toán này sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng và phân tích số nguyên tố.

Cần xét các trường hợp để chứng minh tính đúng đắn của bài toán.