giai giup e SỞ GD&ĐT TP. ĐÀ NẴNG KIỂM TRA NHỊ THỨC NIU TƠN,TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH NĂM HỌC 2024 - 2025,MÔN:,Thời gian làm bài: ___ phút,(Đề thi có ___ trang) (không kể thời gian phát đề),Họ và tên: ..... Số báo danh: ..... Mã đề 103,Câu 1. Tìm hệ số của $x^2y^2$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(x+2y)^4.$,A. 16. B. 24. C. 8. D. 32.,Câu 2. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(a+b)^4$ có bao nhiêu số hạng?,A. 6. B. 4. C. 5. D. 3.,Câu 3. Khai triển của nhị thức $(x-2)^5.$,$A.~x^5-100x^4+400x^3-800x^2+800x-32.$ $B.~x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32.$,$C.~5x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32.$ $D.~x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32.$,Câu 4. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(2x-3)^4,$ số hạng tổng quát của khai triển là:,$A.~C^k_42^k3^{4-k}x^{4-k}.$ $B.~C^k_42^k(-3)^{4-k}.x^{4-k}.$ $C.~C^k_42^{4-k}3^k.x^{4-k}.$ $D.~C^k_42^{4-k}_4(-3)^k.x^{4-k}$,Câu 5. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(a+b)^4,$ số hạng tổng quát của khai triển là,$A.~C^k_4a^{4-k}b^k.$ $B.~C^k_4a^{4-k}b^{4-k}.$ $C.~C^{k+1}_4a^{5-k}b^{k+1}.$ $D.~C^{k-1}_4a^kb^{5-k}.$,Câu 6. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(1-2x)^4.$,A. 81. B. -1. C. -81. D. 1.,Câu 7. Đa thức $P(x)=32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1$ là khai triển của nhị thức nào dưới đây?,$A.~(1+2x)^5.$ $B.~(1-2x)^5.$ $C.~(x-1)^5.$ $D.~(2x-1)^5.$,Câu 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(\frac1x+x^3)^4.$,A. 12. B. 1. C. 4. D. 6.,Câu 9. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(2x-3)^4$ có bao nhiêu số hạng?,A. 4. B. 5. C. 6. D. 3.,Câu 10. Khai triển nhị thức $(2x+y)^5.$ Ta được kết quả là,$A.~32x^5+10000x^4y+80000x^3y^2+400x^2y^3+10xy^4+y^5.$,$B.~2x^5+10x^4y+20x^3y^2+20x^2y^3+10xy^4+y^5.$,$C.~32x^5+16x^4y+8x^3y^2+4x^2y^3+2xy^4+y^5.$,$D.~32x^5+80x^4y+80x^3y^2+40x^2y^3+10xy^4+y^5.$,Câu 11. Viết khai triển theo công thức nhị thức newton $(x+1)^5.$,$A.~x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1.$ $B.~x^5-5x^4-10x^3+10x^2-5x+1.$,$C.~x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1.$ $D.~5x^5+10x^4+10x^3+5x^2+5x+1.$,Câu 12. Khai triển của nhị thức $(x-\frac1x)^5$ là,$A.~5x^5+10x^3+10x+\frac{10}x+\frac5{x^3}+\frac1{x^3}$ $B.~x^5+5x^3+10x+\frac{10}x+\frac5{x^3}+\frac1{x^3}.$,$C.~x^5-5x^3+10x-\frac{10}x+\frac5{x^3}-\frac1{x^5}.$ $D.~5x^5-10x^3+10x-\frac{10}x+\frac5{x^3}-\frac1{x^5}.$,Câu 13. Khai triển của nhị thức $(3x+4)^5$ là,Mã đề 103,Trang 1/2

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Niu-tơn để khai triển $(x + 2y)^4$. Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
Trong trường hợp này, $a = x$, $b = 2y$, và $n = 4$. Ta cần tìm hệ số của $x^2 y^2$ trong khai triển này.

Công thức tổng quát cho mỗi hạng tử trong khai triển là:
$$
\binom{4}{k} x^{4-k} (2y)^k
$$

Chúng ta cần tìm $k$ sao cho $x^{4-k} (2y)^k = x^2 y^2$. Điều này có nghĩa là:
$$
4 - k = 2 \quad \text{và} \quad k = 2
$$

Thay $k = 2$ vào công thức hạng tử:
$$
\binom{4}{2} x^{4-2} (2y)^2 = \binom{4}{2} x^2 (2y)^2
$$

Bây giờ, ta tính các giá trị:
$$
\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6
$$
$$
(2y)^2 = 4y^2
$$

Do đó, hạng tử tương ứng là:
$$
6 \cdot x^2 \cdot 4y^2 = 24x^2 y^2
$$

Vậy hệ số của $x^2 y^2$ trong khai triển của $(x + 2y)^4$ là 24.

Đáp án đúng là: B. 24.

Câu 2.
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(a+b)^n$, số hạng trong khai triển sẽ là $n+1$.

Với $(a+b)^4$, ta có:

Số hạng trong khai triển là $4 + 1 = 5$.

Vậy trong khai triển của $(a+b)^4$ có 5 số hạng.

Đáp án đúng là: C. 5.

Câu 3.
Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển $(x - 2)^5$.

Công thức khai triển nhị thức Newton là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, ta có $a = x$, $b = -2$ và $n = 5$. Ta sẽ áp dụng công thức này từng bước:

1. Tính các hệ số nhị thức:
$$
\binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = 10, \quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1
$$

2. Khai triển từng hạng tử:
$$
(x - 2)^5 = \binom{5}{0} x^5 (-2)^0 + \binom{5}{1} x^4 (-2)^1 + \binom{5}{2} x^3 (-2)^2 + \binom{5}{3} x^2 (-2)^3 + \binom{5}{4} x^1 (-2)^4 + \binom{5}{5} x^0 (-2)^5
$$

3. Thay các giá trị vào:
$$
(x - 2)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-2) + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot (-8) + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot (-32)
$$

4. Tính toán các hạng tử:
$$
(x - 2)^5 = x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32
$$

Vậy đáp án đúng là:
D. $x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$.

Câu 4.
Ta sẽ áp dụng công thức khai triển nhị thức Niutơn cho biểu thức $(2x - 3)^4$.

Theo công thức khai triển nhị thức Niutơn:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C^n_k a^{n-k} b^k
$$

Trong đó:
- $a = 2x$
- $b = -3$
- $n = 4$

Số hạng tổng quát của khai triển là:
$$
C^k_4 (2x)^{4-k} (-3)^k
$$

Ta sẽ phân tích từng thành phần:
- $C^k_4$ là hệ số nhị thức Niutơn.
- $(2x)^{4-k}$ là phần liên quan đến $a^{n-k}$, ở đây $a = 2x$.
- $(-3)^k$ là phần liên quan đến $b^k$, ở đây $b = -3$.

Do đó, số hạng tổng quát của khai triển là:
$$
C^k_4 (2x)^{4-k} (-3)^k = C^k_4 2^{4-k} x^{4-k} (-3)^k
$$

Từ đó, ta thấy rằng đáp án đúng là:
D. $C^k_4 2^{4-k} (-3)^k x^{4-k}$.

Đáp án: D. $C^k_4 2^{4-k} (-3)^k x^{4-k}$.

Câu 5.
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(a+b)^4$, số hạng tổng quát của khai triển là $C^k_4a^{4-k}b^k$.

Lập luận từng bước:
1. Khai triển nhị thức Niu-tơn của $(a+b)^n$ có dạng:
   $$
   (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C^n_k a^{n-k} b^k
   $$
2. Trong trường hợp này, $n = 4$. Do đó, khai triển của $(a+b)^4$ sẽ là:
   $$
   (a+b)^4 = \sum_{k=0}^{4} C^4_k a^{4-k} b^k
   $$
3. Số hạng tổng quát trong khai triển này là $C^k_4 a^{4-k} b^k$.

Vậy đáp án đúng là:
A. $C^k_4 a^{4-k} b^k$.

Câu 6.
Để tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(1-2x)^4$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn.
- Tổng các hệ số trong khai triển của $(a + b)^n$ là $(a + b)^n$ khi thay $x = 1$.

Bước 2: Thay $x = 1$ vào biểu thức $(1-2x)^4$.
- $(1 - 2 \cdot 1)^4 = (1 - 2)^4 = (-1)^4 = 1$.

Vậy tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(1-2x)^4$ là 1.

Đáp án đúng là: D. 1.

Câu 7.
Để xác định đa thức $ P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 $ là khai triển của nhị thức nào, ta sẽ kiểm tra từng đáp án.

A. $ (1 + 2x)^5 $

Áp dụng công thức nhị thức Newton:
$$ (1 + 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (1)^{5-k} (2x)^k $$

Tính từng hạng tử:
- Khi $ k = 0 $: $ \binom{5}{0} (1)^5 (2x)^0 = 1 $
- Khi $ k = 1 $: $ \binom{5}{1} (1)^4 (2x)^1 = 5 \cdot 2x = 10x $
- Khi $ k = 2 $: $ \binom{5}{2} (1)^3 (2x)^2 = 10 \cdot 4x^2 = 40x^2 $
- Khi $ k = 3 $: $ \binom{5}{3} (1)^2 (2x)^3 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3 $
- Khi $ k = 4 $: $ \binom{5}{4} (1)^1 (2x)^4 = 5 \cdot 16x^4 = 80x^4 $
- Khi $ k = 5 $: $ \binom{5}{5} (1)^0 (2x)^5 = 1 \cdot 32x^5 = 32x^5 $

Kết quả khai triển:
$$ (1 + 2x)^5 = 1 + 10x + 40x^2 + 80x^3 + 80x^4 + 32x^5 $$

B. $ (1 - 2x)^5 $

Áp dụng công thức nhị thức Newton:
$$ (1 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (1)^{5-k} (-2x)^k $$

Tính từng hạng tử:
- Khi $ k = 0 $: $ \binom{5}{0} (1)^5 (-2x)^0 = 1 $
- Khi $ k = 1 $: $ \binom{5}{1} (1)^4 (-2x)^1 = 5 \cdot (-2x) = -10x $
- Khi $ k = 2 $: $ \binom{5}{2} (1)^3 (-2x)^2 = 10 \cdot 4x^2 = 40x^2 $
- Khi $ k = 3 $: $ \binom{5}{3} (1)^2 (-2x)^3 = 10 \cdot (-8x^3) = -80x^3 $
- Khi $ k = 4 $: $ \binom{5}{4} (1)^1 (-2x)^4 = 5 \cdot 16x^4 = 80x^4 $
- Khi $ k = 5 $: $ \binom{5}{5} (1)^0 (-2x)^5 = 1 \cdot (-32x^5) = -32x^5 $

Kết quả khai triển:
$$ (1 - 2x)^5 = 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5 $$

C. $ (x - 1)^5 $

Áp dụng công thức nhị thức Newton:
$$ (x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (x)^{5-k} (-1)^k $$

Tính từng hạng tử:
- Khi $ k = 0 $: $ \binom{5}{0} (x)^5 (-1)^0 = x^5 $
- Khi $ k = 1 $: $ \binom{5}{1} (x)^4 (-1)^1 = 5 \cdot (-x^4) = -5x^4 $
- Khi $ k = 2 $: $ \binom{5}{2} (x)^3 (-1)^2 = 10 \cdot x^3 = 10x^3 $
- Khi $ k = 3 $: $ \binom{5}{3} (x)^2 (-1)^3 = 10 \cdot (-x^2) = -10x^2 $
- Khi $ k = 4 $: $ \binom{5}{4} (x)^1 (-1)^4 = 5 \cdot x = 5x $
- Khi $ k = 5 $: $ \binom{5}{5} (x)^0 (-1)^5 = 1 \cdot (-1) = -1 $

Kết quả khai triển:
$$ (x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 $$

D. $ (2x - 1)^5 $

Áp dụng công thức nhị thức Newton:
$$ (2x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-1)^k $$

Tính từng hạng tử:
- Khi $ k = 0 $: $ \binom{5}{0} (2x)^5 (-1)^0 = 32x^5 $
- Khi $ k = 1 $: $ \binom{5}{1} (2x)^4 (-1)^1 = 5 \cdot 16x^4 \cdot (-1) = -80x^4 $
- Khi $ k = 2 $: $ \binom{5}{2} (2x)^3 (-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 1 = 80x^3 $
- Khi $ k = 3 $: $ \binom{5}{3} (2x)^2 (-1)^3 = 10 \cdot 4x^2 \cdot (-1) = -40x^2 $
- Khi $ k = 4 $: $ \binom{5}{4} (2x)^1 (-1)^4 = 5 \cdot 2x \cdot 1 = 10x $
- Khi $ k = 5 $: $ \binom{5}{5} (2x)^0 (-1)^5 = 1 \cdot (-1) = -1 $

Kết quả khai triển:
$$ (2x - 1)^5 = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 $$

So sánh kết quả khai triển với đa thức $ P(x) = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 $, ta thấy rằng đa thức này chính là khai triển của $ (2x - 1)^5 $.

Vậy đáp án đúng là:
D. $ (2x - 1)^5 $

Câu 8.
Ta có khai triển nhị thức Niu-tơn của $(\frac{1}{x} + x^3)^4$ là:
$$
(\frac{1}{x} + x^3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (\frac{1}{x})^{4-k} (x^3)^k
$$

Mỗi số hạng trong khai triển có dạng:
$$
\binom{4}{k} (\frac{1}{x})^{4-k} (x^3)^k = \binom{4}{k} x^{-(4-k)} x^{3k} = \binom{4}{k} x^{-(4-k) + 3k}
$$

Để tìm số hạng không chứa $x$, ta cần chỉ số mũ của $x$ bằng 0:
$$
-(4 - k) + 3k = 0
$$
$$
-4 + k + 3k = 0
$$
$$
4k - 4 = 0
$$
$$
4k = 4
$$
$$
k = 1
$$

Khi $k = 1$, số hạng không chứa $x$ là:
$$
\binom{4}{1} (\frac{1}{x})^{4-1} (x^3)^1 = \binom{4}{1} (\frac{1}{x})^3 x^3 = \binom{4}{1} \cdot 1 = 4
$$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $(\frac{1}{x} + x^3)^4$ là 4.

Đáp án đúng là: C. 4.

Câu 9.
Ta sẽ sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn để giải bài toán này.

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là:
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, còn $a$ và $b$ là hai số hạng trong nhị thức.

Áp dụng công thức này cho $(2x - 3)^4$, ta có:

$$(2x - 3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} (-3)^k$$

Ta thấy rằng, mỗi số hạng trong khai triển này có dạng $\binom{4}{k} (2x)^{4-k} (-3)^k$, với $k$ chạy từ 0 đến 4.

Do đó, số hạng trong khai triển này là:

- Khi $k = 0$: $\binom{4}{0} (2x)^{4} (-3)^0 = 1 \cdot (2x)^4 \cdot 1 = 16x^4$
- Khi $k = 1$: $\binom{4}{1} (2x)^{3} (-3)^1 = 4 \cdot (2x)^3 \cdot (-3) = -96x^3$
- Khi $k = 2$: $\binom{4}{2} (2x)^{2} (-3)^2 = 6 \cdot (2x)^2 \cdot 9 = 216x^2$
- Khi $k = 3$: $\binom{4}{3} (2x)^{1} (-3)^3 = 4 \cdot (2x) \cdot (-27) = -216x$
- Khi $k = 4$: $\binom{4}{4} (2x)^{0} (-3)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81 = 81$

Như vậy, ta có tổng cộng 5 số hạng trong khai triển của $(2x - 3)^4$.

Đáp án đúng là: B. 5.

Câu 10.
Ta sẽ khai triển nhị thức $(2x + y)^5$ bằng công thức nhị thức Newton.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong trường hợp này, $a = 2x$, $b = y$, và $n = 5$. Ta sẽ áp dụng công thức này từng bước:

1. Tính các hệ số nhị thức:
$$
\binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = 10, \quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1
$$

2. Khai triển từng hạng tử:
$$
(2x + y)^5 = \binom{5}{0} (2x)^5 y^0 + \binom{5}{1} (2x)^4 y^1 + \binom{5}{2} (2x)^3 y^2 + \binom{5}{3} (2x)^2 y^3 + \binom{5}{4} (2x)^1 y^4 + \binom{5}{5} (2x)^0 y^5
$$

3. Thay các giá trị vào:
$$
= 1 \cdot (2x)^5 \cdot 1 + 5 \cdot (2x)^4 \cdot y + 10 \cdot (2x)^3 \cdot y^2 + 10 \cdot (2x)^2 \cdot y^3 + 5 \cdot (2x) \cdot y^4 + 1 \cdot 1 \cdot y^5
$$

4. Tính các lũy thừa và nhân các hệ số:
$$
= 1 \cdot 32x^5 + 5 \cdot 16x^4 \cdot y + 10 \cdot 8x^3 \cdot y^2 + 10 \cdot 4x^2 \cdot y^3 + 5 \cdot 2x \cdot y^4 + 1 \cdot y^5
$$
$$
= 32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5
$$

Vậy kết quả khai triển của $(2x + y)^5$ là:
$$
32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5
$$

Do đó, đáp án đúng là:
D. $32x^5 + 80x^4y + 80x^3y^2 + 40x^2y^3 + 10xy^4 + y^5$.

Câu 11.
Theo công thức nhị thức Newton, ta có:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
Áp dụng vào bài toán, ta có $a = x$, $b = 1$ và $n = 5$. Ta sẽ tính từng hạng tử của khai triển:
$$
(x + 1)^5 = \binom{5}{0} x^5 \cdot 1^0 + \binom{5}{1} x^4 \cdot 1^1 + \binom{5}{2} x^3 \cdot 1^2 + \binom{5}{3} x^2 \cdot 1^3 + \binom{5}{4} x^1 \cdot 1^4 + \binom{5}{5} x^0 \cdot 1^5
$$

Tính các hệ số nhị thức:
$$
\binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = 10, \quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1
$$

Thay vào ta có:
$$
(x + 1)^5 = 1 \cdot x^5 + 5 \cdot x^4 + 10 \cdot x^3 + 10 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 1
$$

Vậy khai triển của $(x + 1)^5$ là:
$$
x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1
$$

Đáp án đúng là: C. $x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.

Câu 12.
Ta sẽ khai triển nhị thức $(x - \frac{1}{x})^5$ bằng công thức nhị thức Newton.

Công thức khai triển nhị thức Newton là:
$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức.

Áp dụng vào bài toán, ta có:
$$ (x - \frac{1}{x})^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k $$

Ta sẽ tính từng hạng tử:
1. Khi $k = 0$:
$$ \binom{5}{0} x^{5-0} \left(-\frac{1}{x}\right)^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5 $$

2. Khi $k = 1$:
$$ \binom{5}{1} x^{5-1} \left(-\frac{1}{x}\right)^1 = 5 \cdot x^4 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) = -5x^3 $$

3. Khi $k = 2$:
$$ \binom{5}{2} x^{5-2} \left(-\frac{1}{x}\right)^2 = 10 \cdot x^3 \cdot \left(\frac{1}{x^2}\right) = 10x $$

4. Khi $k = 3$:
$$ \binom{5}{3} x^{5-3} \left(-\frac{1}{x}\right)^3 = 10 \cdot x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x^3}\right) = -10 \cdot \frac{1}{x} = -\frac{10}{x} $$

5. Khi $k = 4$:
$$ \binom{5}{4} x^{5-4} \left(-\frac{1}{x}\right)^4 = 5 \cdot x \cdot \left(\frac{1}{x^4}\right) = 5 \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{5}{x^3} $$

6. Khi $k = 5$:
$$ \binom{5}{5} x^{5-5} \left(-\frac{1}{x}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{x^5}\right) = -\frac{1}{x^5} $$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$ (x - \frac{1}{x})^5 = x^5 - 5x^3 + 10x - \frac{10}{x} + \frac{5}{x^3} - \frac{1}{x^5} $$

Vậy đáp án đúng là:
C. $x^5 - 5x^3 + 10x - \frac{10}{x} + \frac{5}{x^3} - \frac{1}{x^5}$.

Câu 13.
Để khai triển nhị thức $(3x + 4)^5$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức này cho phép ta mở rộng một nhị thức lũy thừa thành tổng các hạng tử.

Công thức nhị thức Newton:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng:
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

Áp dụng công thức này cho $(3x + 4)^5$, ta có:
$$
(3x + 4)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (3x)^{5-k} 4^k
$$

Bây giờ, ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:

1. Khi $k = 0$:
$$
\binom{5}{0} (3x)^{5-0} 4^0 = 1 \cdot (3x)^5 \cdot 1 = 243x^5
$$

2. Khi $k = 1$:
$$
\binom{5}{1} (3x)^{5-1} 4^1 = 5 \cdot (3x)^4 \cdot 4 = 5 \cdot 81x^4 \cdot 4 = 1620x^4
$$

3. Khi $k = 2$:
$$
\binom{5}{2} (3x)^{5-2} 4^2 = 10 \cdot (3x)^3 \cdot 16 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 16 = 4320x^3
$$

4. Khi $k = 3$:
$$
\binom{5}{3} (3x)^{5-3} 4^3 = 10 \cdot (3x)^2 \cdot 64 = 10 \cdot 9x^2 \cdot 64 = 5760x^2
$$

5. Khi $k = 4$:
$$
\binom{5}{4} (3x)^{5-4} 4^4 = 5 \cdot (3x)^1 \cdot 256 = 5 \cdot 3x \cdot 256 = 3840x
$$

6. Khi $k = 5$:
$$
\binom{5}{5} (3x)^{5-5} 4^5 = 1 \cdot (3x)^0 \cdot 1024 = 1 \cdot 1 \cdot 1024 = 1024
$$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(3x + 4)^5 = 243x^5 + 1620x^4 + 4320x^3 + 5760x^2 + 3840x + 1024
$$

Đáp số: 
$$
(3x + 4)^5 = 243x^5 + 1620x^4 + 4320x^3 + 5760x^2 + 3840x + 1024
$$