Giúp mình với! Câu 11. (1,0 điểm) Tìm m để phương trình $x^2-2(m-1)x+m^2-4m+5=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$,thỏa mãn điều kiện $x^2_1x_2+x_1x^2_2-3x_1-3x_2=0.$

Question

Accepted Answer

Câu 11.
Để phương trình $x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 4m + 5 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$.

Ta có:
$$
\Delta = [2(m-1)]^2 - 4(m^2 - 4m + 5) = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - 4m + 5)
$$
$$
= 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 16m - 20 = 8m - 16
$$

Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
$$
8m - 16 \geq 0 \implies m \geq 2
$$

Theo bài toán, ta có:
$$
x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 - 3x_1 - 3x_2 = 0
$$
$$
x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 3(x_1 + x_2) = 0
$$
$$
(x_1 x_2 - 3)(x_1 + x_2) = 0
$$

Từ đây, ta có hai trường hợp:

1. $x_1 x_2 = 3$

2. $x_1 + x_2 = 0$

Xét trường hợp $x_1 + x_2 = 0$:
$$
x_1 + x_2 = 2(m-1) = 0 \implies m = 1
$$

Nhưng $m = 1$ không thỏa mãn điều kiện $m \geq 2$, nên loại trường hợp này.

Xét trường hợp $x_1 x_2 = 3$:
$$
x_1 x_2 = m^2 - 4m + 5 = 3
$$
$$
m^2 - 4m + 2 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai:
$$
m = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}
$$

Vì $m \geq 2$, ta chọn $m = 2 + \sqrt{2}$.

Vậy giá trị của $m$ là:
$$
m = 2 + \sqrt{2}
$$