Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 4: (4,0 điểm) Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O^\prime;R^\prime)$ cắt nhau tại A và B $(RR^\prime).$ Vẽ hai tiếp,tuyến chung của hai đường tròn đó, chúng cắt nhau ở S. Gọi C và M là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến,trên với (O; R), D là tiếp điểm của tiếp tuyến SC với $(O^\prime;R^\prime)$ (ba điểm A, C và D thuộc cùng nửa,mặt phẳng bờ SO). Gọi F là giao điểm của tia BA với CD.,a) Chứng minh $FC^2=FA.FB.$,b) Tia SA cắt (O; R) tại E, SO cắt CM tại H. Chứng minh tứ giác AHOE nội tiếp.,c) Chứng minh $ADC=CAE.$

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 4: (4,0 điểm) Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O^\prime;R^\prime)$ cắt nhau tại A và B $(R>R^\prime).$ Vẽ hai tiếp,tuyến chung của hai đường tròn đó, chúng cắt nhau ở S. Gọi C và M là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến,trên với (O; R), D là tiếp điểm của tiếp tuyến SC với $(O^\prime;R^\prime)$ (ba điểm A, C và D thuộc cùng nửa,mặt phẳng bờ SO). Gọi F là giao điểm của tia BA với CD.,a) Chứng minh $FC^2=FA.FB.$,b) Tia SA cắt (O; R) tại E, SO cắt CM tại H. Chứng minh tứ giác AHOE nội tiếp.,c) Chứng minh $ADC=CAE.$

Accepted Answer

Bài 4:

a)

\begin{equation}
\begin{aligned}
& ext { Xét } riangle B F C ext { và } riangle C F A ext {, ta có } A F C ext { chung }\
&C B A=A C F=\frac{1}{2} A C
\end{aligned}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
& \Delta B F C \propto riangle C F A \
& \frac{F B}{F C}=\frac{F C}{F A} ext { hay } F C^2=F A \cdot F B
\end{aligned}
\end{equation}

b)

Ta có $S C=S M$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Và $O C=O M(=R)$
Nên $S O$ là đường trung trực của đoạn $C M$ nên $S O \perp C M$
$S O$ và $S O$ ' là hai tia phân giác của $C S M$ nên ba điểm $S, O, O^{\prime}$ thẳng hàng
$ riangle S C O$ vuông tại $C, C H$ đường cao nên $S C^2=S H \cdot S O$ (1)
Ta có $S C A=S E C=\frac{1}{2} A C$ và $A S C$ chung
Nên $ riangle C S A \backsim riangle E S C$

$\frac{S C}{S E}=\frac{S A}{S C} ext { hay } S C^2=S E \cdot S A$
Từ (1) và (2), ta được $S E . S A=$ SH.SO
Do đó tứ giác $A H O E$ nội tiếp (phương tích).

c)

Ta có $O C / / O^{\prime} D$ (cùng $\perp S C$ ) nên $\frac{S O^{\prime}}{S O}=\frac{O^{\prime} D}{O C}=\frac{R^{\prime}}{R}=\frac{O^{\prime} A}{O E}$
Do đó $O^{\prime} A / / O E$
$D O^{\prime} A=C O E$ (cạnh tương ưng song song song) (3)
Mà $A D C=\frac{1}{2} D O^{\prime} A$ (cùng chắn $A D$ ) và $C A E=\frac{1}{2} C O E$ (cùng chắn $C E$ ) (4)
Từ (3) và (4), ta được $A D C=C A E$.