Giải hộ mình câu này với các bạn
Cho phương trình $x^2-2(m-2)x-2m=0.$ (m là tham,số ). Tìm m để $x_2-x_1=x^2_1$

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn
 Cho phương trình $x^2-2(m-2)x-2m=0.$ (m là tham,số ). Tìm m để $x_2-x_1=x^2_1$

Accepted Answer

Phương trình $x^2 - 2(m-2)x - 2m = 0$.

Ta có: $\Delta' = (m-2)^2 - (-2m) = m^2 - 4m + 4 + 2m = m^2 - 2m + 4 = (m-1)^2 + 3 > 0, \forall m$

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$.

Theo định lý Vi-et, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m-2) \ x_1x_2 = -2m \end{cases}$

Theo đề bài, ta có $x_2 - x_1 = x_1^2$

$\Leftrightarrow (x_2 - x_1)^2 = x_1^4$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = x_1^4$

$\Leftrightarrow 4(m-2)^2 - 4(-2m) = x_1^4$

$\Leftrightarrow 4(m^2 - 4m + 4) + 8m = x_1^4$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 16m + 16 + 8m = x_1^4$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 8m + 16 = x_1^4$

$\Leftrightarrow 4(m^2 - 2m + 1) + 12 = x_1^4$

$\Leftrightarrow 4(m-1)^2 + 12 = x_1^4$

Mặt khác, $x_2 - x_1 = x_1^2 \Rightarrow x_2 = x_1^2 + x_1$.

$x_1 + x_2 = 2(m-2)$

$\Leftrightarrow x_1 + x_1^2 + x_1 = 2m - 4$

$\Leftrightarrow x_1^2 + 2x_1 = 2m - 4$

$x_1x_2 = -2m$

$\Leftrightarrow x_1(x_1^2 + x_1) = -2m$

$\Leftrightarrow x_1^3 + x_1^2 = -2m$

Ta có $x_1^2 + 2x_1 = 2m - 4 \Rightarrow x_1^2 = 2m - 4 - 2x_1$

$x_1^3 + x_1^2 = -2m$

$\Leftrightarrow x_1(2m - 4 - 2x_1) + 2m - 4 - 2x_1 = -2m$

$\Leftrightarrow 2mx_1 - 4x_1 - 2x_1^2 + 2m - 4 - 2x_1 = -2m$

$\Leftrightarrow 2mx_1 - 4x_1 - 2(2m - 4 - 2x_1) + 2m - 4 - 2x_1 = -2m$

$\Leftrightarrow 2mx_1 - 4x_1 - 4m + 8 + 4x_1 + 2m - 4 - 2x_1 = -2m$

$\Leftrightarrow 2mx_1 - 2m + 4 - 2x_1 = -2m$

$\Leftrightarrow 2mx_1 - 2x_1 = -4$

$\Leftrightarrow 2x_1(m-1) = -4$

$\Leftrightarrow x_1 = \frac{-2}{m-1}$.

Do đó $x_1^2 + 2x_1 = 2m - 4$

$\Leftrightarrow \frac{4}{(m-1)^2} + \frac{-4}{m-1} = 2m - 4$

$\Leftrightarrow \frac{4}{(m-1)^2} - \frac{4(m-1)}{(m-1)^2} = \frac{(2m-4)(m-1)^2}{(m-1)^2}$

$\Leftrightarrow 4 - 4(m-1) = (2m-4)(m^2-2m+1)$

$\Leftrightarrow 4 - 4m + 4 = 2m^3 - 4m^2 + 2m - 4m^2 + 8m - 4$

$\Leftrightarrow -4m + 8 = 2m^3 - 8m^2 + 10m - 4$

$\Leftrightarrow 2m^3 - 8m^2 + 14m - 12 = 0$

$\Leftrightarrow m^3 - 4m^2 + 7m - 6 = 0$

$\Leftrightarrow (m-2)(m^2-2m+3) = 0$

$\Leftrightarrow m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow m = 2$.

Thử lại với $m = 2$:

$x^2 - 2(2-2)x - 2(2) = 0$

$x^2 - 4 = 0$

$\Leftrightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$

V$x_2 - x_1 = 2 - (-2) = 4, x_1^2 = (-2)^2 = 4$.