Cho đường tròn tâm O bán kính R. Có tam giác ABC nội tiếp đường tròn kẻ đường cao BM cắt nhau tại H
a. Chứng minh ANHM nội tiếp (vẽ hình hộ với)

Question

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Có tam giác ABC nội tiếp đường tròn kẻ đường cao BM cắt nhau tại H 
a. Chứng minh ANHM nội tiếp (vẽ hình hộ với)

Accepted Answer

Để chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện của tứ giác này bằng 180°.

1. Xác định các điểm và đường thẳng:
   - Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.
   - Đường cao BM cắt đường tròn tại N.
   - Điểm H là trực tâm của tam giác ABC (giao điểm của ba đường cao).

2. Chứng minh góc ANM và góc AHM:
   - Vì N nằm trên đường tròn và M là chân đường cao từ B, ta có góc ANM là góc nội tiếp chắn cung AB.
   - Góc AHM là góc giữa đường cao BM và đường thẳng AH (đường cao từ A).

3. Tính góc ANM:
   - Góc ANM là góc nội tiếp chắn cung AB, do đó góc ANM = $\frac{1}{2}$ góc AOB (góc tâm chắn cung AB).

4. Tính góc AHM:
   - Góc AHM là góc giữa đường cao BM và đường thẳng AH. Vì BM là đường cao, góc BMA = 90°.
   - Góc AHM = 180° - góc AMB - góc BAM.
   - Vì góc AMB = 90°, ta có góc AHM = 180° - 90° - góc BAM = 90° - góc BAM.

5. Tổng của góc ANM và góc AHM:
   - Ta cần chứng minh góc ANM + góc AHM = 180°.
   - Góc ANM = $\frac{1}{2}$ góc AOB.
   - Góc AHM = 90° - góc BAM.
   - Vì góc BAM = $\frac{1}{2}$ góc AOB (góc nội tiếp chắn cung AB), ta có:
     - Góc ANM + góc AHM = $\frac{1}{2}$ góc AOB + 90° - $\frac{1}{2}$ góc AOB = 90° + 90° = 180°.

Do đó, tứ giác ANHM nội tiếp vì tổng của hai góc đối diện của nó bằng 180°.

Kết luận: Tứ giác ANHM nội tiếp.

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Có tam giác ABC nội tiếp đường tròn kẻ đường cao BM cắt nhau tại H a. Chứng minh ANHM nội tiếp (vẽ hình hộ với)