Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và M.N.H lần lượt là trun...

Sabo D.Chắc chắn rồi, hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán hình học không gian này từng bước một:

Cho hình chóp S.ABCD có:

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

G là trọng tâm tam giác SAB.

M, N, H lần lượt là trung điểm của SC, SD, AB.

a) Chứng minh rằng SH vuông góc (ABCD).

Chứng minh SA vuông góc (ABCD):

Gọi I là trung điểm AB. Vì tam giác SAB đều, SI vuông góc AB.

Mặt khác, (SAB) vuông góc (ABCD), suy ra SI vuông góc (ABCD).

Do đó, SI là đường cao của hình chóp.

Chứng minh H là chân đường cao:

Vì H là trung điểm AB và tam giác SAB đều, SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, SH vuông góc AB.

Vì SI vuông góc (ABCD), SI vuông góc CD.

Suy ra, AB vuông góc CD.

Do đó, SH vuông góc CD.

Vậy, SH vuông góc (ABCD).

b) Tính tang góc giữa đường thẳng SA và (ABCD).

Xác định góc:

Góc giữa SA và (ABCD) là góc giữa SA và hình chiếu của SA trên (ABCD).

Hình chiếu của A trên (ABCD) là A.

Hình chiếu của S trên (ABCD) là H.

Vậy, góc cần tìm là góc SAH.

Tính tang góc:

Trong tam giác vuông SAH:AH = a/2

SH = (a√3)/2 (đường cao tam giác đều cạnh a)

tan(SAH) = SH / AH = (a√3)/2 / (a/2) = √3

c) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (GMN) và (ABCD).

Xác định giao tuyến:

MN là giao tuyến của (GMN) và (SCD).

MN song song CD (tính chất đường trung bình).

MN song song AB.

Suy ra, MN song song (ABCD).

Do đó, giao tuyến của (GMN) và (ABCD) song song MN.

Xác định đường vuông góc chung:

Gọi K là giao điểm của GH và SI.

Vì G là trọng tâm tam giác SAB, GK = (1/3)SI.

Gọi E là trung điểm CD.

Gọi F là giao điểm của KE và MN.

Suy ra, EF là đường vuông góc chung của (GMN) và (ABCD).

Tính côsin góc:

Gọi α là góc giữa (GMN) và (ABCD).

cos(α) = GK / KE

Tính GK:GK = (1/3)SI = (1/3)(a√3)/2 = a√3/6

Tính KE:KE = √(KH² + HE²)

KH = (2/3)SH = (2/3)(a√3)/2 = a√3/3

HE = a

KE = √((a√3/3)² + a²) = √(a²/3 + a²) = √(4a²/3) = 2a/√3

Tính cos(α):cos(α) = GK / KE = (a√3/6) / (2a/√3) = (a√3/6) * (√3/2a) = 3/12 = 1/4

Kết luận:

a) SH vuông góc (ABCD).

b) tan(SAH) = √3.

c) cos(α) = 1/4.