Giúp mình vs Câu 1. Cho hypebol $4x^2-5y^2=20.$ Tìm độ dài trục thực, trục ảo và tiêu cự.,Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hypebol có phương trình $\frac{x^2}9-\frac{y^2}7=1$ và M là một điểm thuộc hypebol,có hoành độ bằng 12. Tính $MF_1,MF_2$ với $F_1,F_2$ là hai tiêu điểm.,Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}4-\frac{y^2}9=1.$ Đường thẳng $y=3$ cắt hybepol tại,hai điểm A,B . Tính diện tích tam giác OAB .,Câu 4. Tọa độ các đỉnh của hypebol $(H):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}9=1$ là,Câu 5. Cho của hypebol $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}5=1.$ Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên (H) đến hai tiêu điểm,có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để tìm độ dài trục thực, trục ảo và tiêu cự của hypebol $4x^2 - 5y^2 = 20$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình hypebol dưới dạng chuẩn:
   Phương trình hypebol ban đầu là:
   $$
   4x^2 - 5y^2 = 20
   $$
   Chia cả hai vế cho 20 để đưa về dạng chuẩn:
   $$
   \frac{4x^2}{20} - \frac{5y^2}{20} = 1
   $$
   Rút gọn các phân số:
   $$
   \frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1
   $$

2. Nhận biết các thông số từ phương trình chuẩn:
   Phương trình chuẩn của hypebol là:
   $$
   \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
   $$
   So sánh với phương trình đã viết ở trên, ta nhận thấy:
   $$
   a^2 = 5 \quad \text{và} \quad b^2 = 4
   $$
   Do đó:
   $$
   a = \sqrt{5} \quad \text{và} \quad b = 2
   $$

3. Tính độ dài trục thực và trục ảo:
   - Độ dài trục thực là $2a$:
     $$
     2a = 2 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}
     $$
   - Độ dài trục ảo là $2b$:
     $$
     2b = 2 \times 2 = 4
     $$

4. Tính tiêu cự:
   Tiêu cự $c$ của hypebol được tính bằng công thức:
   $$
   c = \sqrt{a^2 + b^2}
   $$
   Thay các giá trị $a^2$ và $b^2$ vào:
   $$
   c = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3
   $$

Kết luận:
- Độ dài trục thực là $2\sqrt{5}$
- Độ dài trục ảo là 4
- Tiêu cự là 3

Đáp số:
- Độ dài trục thực: $2\sqrt{5}$
- Độ dài trục ảo: 4
- Tiêu cự: 3

Câu 2.
Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến hai tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ của hypebol, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ của điểm $M$:
   - Điểm $M$ thuộc hypebol $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1$ và có hoành độ $x = 12$.
   - Thay $x = 12$ vào phương trình hypebol:
     $$
     \frac{12^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1
     $$
     $$
     \frac{144}{9} - \frac{y^2}{7} = 1
     $$
     $$
     16 - \frac{y^2}{7} = 1
     $$
     $$
     \frac{y^2}{7} = 15
     $$
     $$
     y^2 = 105
     $$
     $$
     y = \pm \sqrt{105}
     $$
   - Vậy tọa độ của điểm $M$ là $(12, \sqrt{105})$ hoặc $(12, -\sqrt{105})$.

2. Tìm tọa độ của hai tiêu điểm $F_1$ và $F_2$:
   - Phương trình hypebol $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ có $a^2 = 9$ và $b^2 = 7$.
   - Ta có $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 7 = 16$, suy ra $c = 4$.
   - Tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ có tọa độ lần lượt là $(-4, 0)$ và $(4, 0)$.

3. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến hai tiêu điểm $F_1$ và $F_2$:
   - Với $M(12, \sqrt{105})$:
     $$
     MF_1 = \sqrt{(12 - (-4))^2 + (\sqrt{105} - 0)^2} = \sqrt{(12 + 4)^2 + (\sqrt{105})^2} = \sqrt{16^2 + 105} = \sqrt{256 + 105} = \sqrt{361} = 19
     $$
     $$
     MF_2 = \sqrt{(12 - 4)^2 + (\sqrt{105} - 0)^2} = \sqrt{(12 - 4)^2 + (\sqrt{105})^2} = \sqrt{8^2 + 105} = \sqrt{64 + 105} = \sqrt{169} = 13
     $$

- Với $M(12, -\sqrt{105})$:
     $$
     MF_1 = \sqrt{(12 - (-4))^2 + (-\sqrt{105} - 0)^2} = \sqrt{(12 + 4)^2 + (-\sqrt{105})^2} = \sqrt{16^2 + 105} = \sqrt{256 + 105} = \sqrt{361} = 19
     $$
     $$
     MF_2 = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-\sqrt{105} - 0)^2} = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-\sqrt{105})^2} = \sqrt{8^2 + 105} = \sqrt{64 + 105} = \sqrt{169} = 13
     $$

Vậy khoảng cách từ điểm $M$ đến hai tiêu điểm $F_1$ và $F_2$ là $MF_1 = 19$ và $MF_2 = 13$.

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $ y = 3 $ với hyperbol $ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 $.
2. Tính khoảng cách giữa hai giao điểm này.
3. Tính diện tích tam giác OAB.

Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $ y = 3 $ với hyperbol $ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 $.

Thay $ y = 3 $ vào phương trình hyperbol:
$$ \frac{x^2}{4} - \frac{3^2}{9} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{4} - 1 = 1 $$
$$ \frac{x^2}{4} = 2 $$
$$ x^2 = 8 $$
$$ x = \pm 2\sqrt{2} $$

Vậy hai giao điểm là $ A(2\sqrt{2}, 3) $ và $ B(-2\sqrt{2}, 3) $.

Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai giao điểm này.

Khoảng cách giữa hai điểm $ A(2\sqrt{2}, 3) $ và $ B(-2\sqrt{2}, 3) $ là:
$$ AB = |2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = |2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}| = 4\sqrt{2} $$

Bước 3: Tính diện tích tam giác OAB.

Diện tích tam giác OAB là:
$$ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times \text{cạnh đáy} \times \text{chiều cao} $$
$$ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times AB \times y $$
$$ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 3 $$
$$ S_{OAB} = 6\sqrt{2} $$

Vậy diện tích tam giác OAB là $ 6\sqrt{2} $.

Câu 4.
Để tìm tọa độ các đỉnh của hypebol $(H):\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định dạng chuẩn của hypebol:
   Hypebol có dạng chuẩn là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. So sánh với phương trình đã cho, ta nhận thấy:
   $$
   a^2 = 25 \quad \text{và} \quad b^2 = 9
   $$
   Do đó:
   $$
   a = \sqrt{25} = 5 \quad \text{và} \quad b = \sqrt{9} = 3
   $$

2. Xác định tọa độ các đỉnh:
   Các đỉnh của hypebol nằm trên trục $x$ (trục thực) và có tọa độ là $(\pm a, 0)$.

Vì $a = 5$, nên tọa độ các đỉnh là:
   $$
   (5, 0) \quad \text{và} \quad (-5, 0)
   $$

Vậy, tọa độ các đỉnh của hypebol $(H)$ là $(5, 0)$ và $(-5, 0)$.

Câu 5.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hyperbol. Hyperbol có dạng chuẩn là $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 16$ và $b^2 = 5$. Do đó, $a = 4$ và $b = \sqrt{5}$.

Tiêu cự của hyperbol là $c$, được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Thay các giá trị đã biết vào, ta có:
$$ c = \sqrt{16 + 5} = \sqrt{21} $$

Tiêu điểm của hyperbol là $(\pm c, 0)$, tức là $(\pm \sqrt{21}, 0)$.

Theo tính chất của hyperbol, hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên hyperbol đến hai tiêu điểm là hằng số và bằng $2a$. Trong trường hợp này, $2a = 2 \times 4 = 8$.

Vậy, hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên (H) đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 8.

Đáp số: 8