Giải đúng giúp em

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng thông tin về các điểm mà tàu lượn siêu tốc đi qua để xác định các hệ số của hàm số bậc ba \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \). 1. Xác định điều kiện ban đầu: - Tàu xuất phát từ chiều cao 60 cm, tức là \( f(0) = 60 \). - Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ nhất tại \( x = 10 \) cm, tức là \( f(10) = 0 \). - Tàu lên khỏi mặt đất lần thứ hai tại \( x = 20 \) cm, tức là \( f(20) = 0 \). - Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ ba tại \( x = 70 \) cm, tức là \( f(70) = 0 \). 2. Lập phương trình từ các điều kiện trên: - \( f(0) = d = 60 \) - \( f(10) = a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) + d = 0 \) \[ 1000a + 100b + 10c + 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 1000a + 100b + 10c = -60 \quad \text{(1)} \] - \( f(20) = a(20)^3 + b(20)^2 + c(20) + d = 0 \) \[ 8000a + 400b + 20c + 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 8000a + 400b + 20c = -60 \quad \text{(2)} \] - \( f(70) = a(70)^3 + b(70)^2 + c(70) + d = 0 \) \[ 343000a + 4900b + 70c + 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad 343000a + 4900b + 70c = -60 \quad \text{(3)} \] 3. Giải hệ phương trình: Chúng ta có ba phương trình: \[ \begin{cases} 1000a + 100b + 10c = -60 \\ 8000a + 400b + 20c = -60 \\ 343000a + 4900b + 70c = -60 \end{cases} \] Chia cả ba phương trình cho 10 để đơn giản hóa: \[ \begin{cases} 100a + 10b + c = -6 \\ 800a + 40b + 2c = -6 \\ 34300a + 490b + 7c = -6 \end{cases} \] Tiếp tục chia phương trình thứ hai cho 2: \[ \begin{cases} 100a + 10b + c = -6 \\ 400a + 20b + c = -3 \\ 34300a + 490b + 7c = -6 \end{cases} \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: \[ (400a + 20b + c) - (100a + 10b + c) = -3 - (-6) \quad \Rightarrow \quad 300a + 10b = 3 \quad \Rightarrow \quad 30a + b = 0.3 \quad \text{(4)} \] Lấy phương trình thứ ba trừ phương trình thứ hai nhân 7: \[ (34300a + 490b + 7c) - 7(400a + 20b + c) = -6 - 7(-3) \quad \Rightarrow \quad 34300a + 490b + 7c - 2800a - 140b - 7c = -6 + 21 \quad \Rightarrow \quad 31500a + 350b = 15 \quad \Rightarrow \quad 900a + 10b = 0.42 \quad \text{(5)} \] Giải hệ phương trình (4) và (5): \[ \begin{cases} 30a + b = 0.3 \\ 900a + 10b = 0.42 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 10: \[ \begin{cases} 300a + 10b = 3 \\ 900a + 10b = 0.42 \end{cases} \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất: \[ (900a + 10b) - (300a + 10b) = 0.42 - 3 \quad \Rightarrow \quad 600a = -2.58 \quad \Rightarrow \quad a = -0.0043 \] Thay \( a = -0.0043 \) vào phương trình \( 30a + b = 0.3 \): \[ 30(-0.0043) + b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad -0.129 + b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad b = 0.429 \] Thay \( a = -0.0043 \) và \( b = 0.429 \) vào phương trình \( 100a + 10b + c = -6 \): \[ 100(-0.0043) + 10(0.429) + c = -6 \quad \Rightarrow \quad -0.43 + 4.29 + c = -6 \quad \Rightarrow \quad 3.86 + c = -6 \quad \Rightarrow \quad c = -9.86 \] 4. Tính giá trị của \( S = 70a - 7b + 7c + d \): \[ S = 70(-0.0043) - 7(0.429) + 7(-9.86) + 60 \] \[ S = -0.301 - 3.003 - 69.02 + 60 \] \[ S = -12.324 \] Đáp số: \( S = -12.324 \) Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính thời gian cần thiết để in 50.000 tờ quảng cáo với n máy in: - Mỗi máy in được 3300 tờ trong một giờ. - Thời gian cần thiết để in 50.000 tờ với n máy là: \[ t = \frac{50000}{3300 \times n} = \frac{50000}{3300n} = \frac{500}{33n} \text{ (giờ)} \] 2. Tính chi phí vận hành n máy in: - Chi phí vận hành một máy trong mỗi lần in là 50.000 đồng. - Chi phí vận hành n máy là: \[ C_{\text{vận hành}} = 50000 \times n \text{ (đồng)} \] 3. Tính chi phí cho n máy chạy trong một giờ: - Chi phí cho n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng. - Chi phí cho n máy chạy trong t giờ là: \[ C_{\text{chạy}} = 10(6n + 10) \times t = 10(6n + 10) \times \frac{500}{33n} = \frac{5000(6n + 10)}{33n} \text{ (nghìn đồng)} \] Chuyển đổi sang đơn vị đồng: \[ C_{\text{chạy}} = \frac{5000000(6n + 10)}{33n} \text{ (đồng)} \] 4. Tổng chi phí: - Tổng chi phí là tổng của chi phí vận hành và chi phí chạy máy: \[ C_{\text{tổng}} = 50000n + \frac{5000000(6n + 10)}{33n} \] 5. Tìm giá trị của n để tổng chi phí nhỏ nhất: - Ta cần tìm giá trị của n để tổng chi phí nhỏ nhất. Để làm điều này, ta sẽ tính đạo hàm của tổng chi phí theo n và tìm điểm cực tiểu. - Đặt \( f(n) = 50000n + \frac{5000000(6n + 10)}{33n} \) - Tính đạo hàm: \[ f'(n) = 50000 + \frac{5000000 \cdot 6n - 5000000 \cdot (6n + 10)}{(33n)^2} \] \[ f'(n) = 50000 + \frac{30000000n - 30000000n - 50000000}{1089n^2} \] \[ f'(n) = 50000 - \frac{50000000}{1089n^2} \] - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 50000 - \frac{50000000}{1089n^2} = 0 \] \[ 50000 = \frac{50000000}{1089n^2} \] \[ 1089n^2 = 1000 \] \[ n^2 = \frac{1000}{1089} \] \[ n = \sqrt{\frac{1000}{1089}} \approx 0.96 \] - Vì n phải là số nguyên dương, ta kiểm tra các giá trị gần 0.96, cụ thể là n = 1 và n = 2. 6. Kiểm tra chi phí tại n = 1 và n = 2: - Với n = 1: \[ C_{\text{tổng}} = 50000 \times 1 + \frac{5000000(6 \times 1 + 10)}{33 \times 1} = 50000 + \frac{5000000 \times 16}{33} \approx 50000 + 242424.24 = 292424.24 \text{ (đồng)} \] - Với n = 2: \[ C_{\text{tổng}} = 50000 \times 2 + \frac{5000000(6 \times 2 + 10)}{33 \times 2} = 100000 + \frac{5000000 \times 22}{66} \approx 100000 + 166666.67 = 266666.67 \text{ (đồng)} \] 7. Kết luận: - Chi phí nhỏ nhất khi n = 2, do đó để được lãi nhiều nhất, nên sử dụng 2 máy in. Đáp số: 2 máy in. Câu 3: Để tìm vận tốc lớn nhất và nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian từ 0 đến 1,66 giây, ta cần tìm cực đại và cực tiểu của hàm số \( v(t) = \frac{t+1}{t^3 - t + 1} + \ln(t^2 - t + 1) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \left( \frac{t+1}{t^3 - t + 1} \right)' + \left( \ln(t^2 - t + 1) \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương và đạo hàm của hàm số logarit: \[ \left( \frac{t+1}{t^3 - t + 1} \right)' = \frac{(t+1)'(t^3 - t + 1) - (t+1)(t^3 - t + 1)'}{(t^3 - t + 1)^2} = \frac{(t^3 - t + 1) - (t+1)(3t^2 - 1)}{(t^3 - t + 1)^2} \] \[ = \frac{t^3 - t + 1 - (3t^3 + 3t^2 - t - 1)}{(t^3 - t + 1)^2} = \frac{-2t^3 - 3t^2 + 2}{(t^3 - t + 1)^2} \] \[ \left( \ln(t^2 - t + 1) \right)' = \frac{1}{t^2 - t + 1} \cdot (t^2 - t + 1)' = \frac{2t - 1}{t^2 - t + 1} \] Do đó: \[ v'(t) = \frac{-2t^3 - 3t^2 + 2}{(t^3 - t + 1)^2} + \frac{2t - 1}{t^2 - t + 1} \] Bước 2: Giải phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ \frac{-2t^3 - 3t^2 + 2}{(t^3 - t + 1)^2} + \frac{2t - 1}{t^2 - t + 1} = 0 \] Nhân cả hai vế với \((t^3 - t + 1)^2 (t^2 - t + 1)\): \[ (-2t^3 - 3t^2 + 2)(t^2 - t + 1) + (2t - 1)(t^3 - t + 1)^2 = 0 \] Phương trình này phức tạp, do đó ta sẽ sử dụng phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng trong khoảng từ 0 đến 1,66. Bước 3: Kiểm tra các giá trị \( t \) trong khoảng từ 0 đến 1,66: - \( v(0) = \frac{0+1}{0^3 - 0 + 1} + \ln(0^2 - 0 + 1) = 1 + 0 = 1 \) - \( v(1) = \frac{1+1}{1^3 - 1 + 1} + \ln(1^2 - 1 + 1) = 2 + 0 = 2 \) - \( v(1,66) = \frac{1,66+1}{1,66^3 - 1,66 + 1} + \ln(1,66^2 - 1,66 + 1) \approx 1,99 \) Bước 4: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Vận tốc lớn nhất đạt tại \( t = 1 \) với \( v(1) = 2 \) - Vận tốc nhỏ nhất đạt tại \( t = 0 \) với \( v(0) = 1 \) Bước 5: Tính \( t_2 - t_1 \): \[ t_2 - t_1 = 0 - 1 = -1 \] Kết luận: Giá trị \( t_2 - t_1 \) là \(-1\). Đáp số: \(-1\) Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ điểm trên đường thẳng đến gốc tọa độ O(0,0,0): - Đường thẳng d có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1000 + 100t \\ y = -200 + 80t \\ z = 10 \end{array} \right. \] - Khoảng cách từ điểm $(x, y, z)$ trên đường thẳng đến gốc tọa độ O(0,0,0) là: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] 2. Thay phương trình tham số vào công thức khoảng cách: - Thay $x$, $y$, $z$ vào công thức: \[ d = \sqrt{(-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2} \] 3. Tìm giá trị của $t$ sao cho khoảng cách $d$ bằng 600 km: - Ta có phương trình: \[ \sqrt{(-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2} = 600 \] - Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (-1000 + 100t)^2 + (-200 + 80t)^2 + 10^2 = 600^2 \] - Tính toán: \[ (-1000 + 100t)^2 = 1000000 - 200000t + 10000t^2 \] \[ (-200 + 80t)^2 = 40000 - 32000t + 6400t^2 \] \[ 10^2 = 100 \] \[ 1000000 - 200000t + 10000t^2 + 40000 - 32000t + 6400t^2 + 100 = 360000 \] \[ 16400t^2 - 232000t + 104100 = 360000 \] \[ 16400t^2 - 232000t - 255900 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: - Phương trình bậc hai: \[ 16400t^2 - 232000t - 255900 = 0 \] - Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 16400$, $b = -232000$, $c = -255900$: \[ t = \frac{232000 \pm \sqrt{232000^2 + 4 \cdot 16400 \cdot 255900}}{2 \cdot 16400} \] \[ t = \frac{232000 \pm \sqrt{53824000000 + 1679040000}}{32800} \] \[ t = \frac{232000 \pm \sqrt{55503040000}}{32800} \] \[ t = \frac{232000 \pm 74500}{32800} \] \[ t_1 = \frac{232000 + 74500}{32800} = \frac{306500}{32800} \approx 9.34 \] \[ t_2 = \frac{232000 - 74500}{32800} = \frac{157500}{32800} \approx 4.80 \] 5. Kiểm tra điều kiện: - Vì máy bay đang chuyển động theo hướng về đài kiểm soát, ta chọn giá trị $t$ nhỏ hơn: \[ t = 4.80 \] Kết luận: Máy bay sẽ được phát hiện bởi đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh - Khánh Hòa khi $t = 4.80$.