Bài 27:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Phương trình bậc hai luôn có nghiệm vì .
- Điều kiện cũng không giới hạn thêm điều kiện nào khác.
2. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai:
- Phương trình có dạng với , , và .
- Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Thay , , và vào:
- Vậy hai nghiệm của phương trình là:
3. Áp dụng điều kiện :
- Ta có và .
- Vì luôn dương, nên và (vì luôn âm hoặc bằng 0).
- Do đó:
- Ta có phương trình:
- Chia cả hai vế cho 2:
- Đặt , ta có:
- Thay vào :
- Bình phương cả hai vế:
- Chuyển tất cả về một vế:
- Đây là phương trình bậc hai hoàn chỉnh:
- Thay vào :
4. Kiểm tra lại:
- Với , ta có:
- Kiểm tra điều kiện:
- Điều kiện thỏa mãn.
Vậy giá trị của là .
Đáp số: .
Bài 28:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của phương trình bậc hai và các điều kiện để đảm bảo rằng các nghiệm của phương trình là số nguyên.
Phương trình đã cho là:
Theo định lý Vi-et, tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai là:
Áp dụng vào phương trình của chúng ta:
Bây giờ, chúng ta cần tìm các cặp số nguyên và sao cho tích của chúng bằng 9. Các cặp số nguyên có tích bằng 9 là:
Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp:
1. và :
2. và :
3. và :
4. và :
Vậy các giá trị của là:
Đáp số:
Bài 29:
Để phương trình có hai nghiệm, ta cần điều kiện .
Bước 1: Tính
Ở đây, , , và . Do đó:
Bước 2: Đặt
Bước 3: Giải bất phương trình
Ta giải phương trình để tìm các điểm cực trị:
Tính :
Các nghiệm của phương trình là:
Bước 4: Xét dấu của trên các khoảng , , và :
- Khi ,
- Khi ,
- Khi ,
Do đó, khi .
Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của trong khoảng :
Vậy các giá trị nguyên của để phương trình có hai nghiệm là:
Bài 30:
Bài 31
Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và . Không giải phương trình, hãy tính .
Áp dụng hệ thức Vi-et:
Ta có:
Thay các giá trị vào:
Đáp số:
Bài 32
Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và . Không giải phương trình, hãy tính .
Áp dụng hệ thức Vi-et:
Ta có:
Thay các giá trị vào:
Đáp số:
Bài 33:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
2. Áp dụng công thức Viète để tìm tổng và tích của các nghiệm.
3. Thay vào phương trình đã cho và giải phương trình bậc hai để tìm giá trị của .
Bước 1: Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Luôn đúng với mọi , do đó ĐKXĐ là .
Bước 2: Áp dụng công thức Viète
Gọi và là các nghiệm của phương trình . Theo công thức Viète, ta có:
Bước 3: Thay vào phương trình đã cho
Ta có phương trình:
Thay và vào phương trình trên:
Bước 4: Giải phương trình
Ta biết rằng , do đó . Thay vào phương trình trên:
Bước 5: Tìm giá trị của
Ta có phương trình:
Do và là nghiệm của phương trình ban đầu, ta có thể thay bằng và ngược lại. Ta sẽ giải phương trình này để tìm :
Giả sử , ta có:
Thay vào phương trình:
Giải phương trình bậc hai:
Vậy giá trị của là:
Đáp số: hoặc .
Bài 34:
Cho phương trình:
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu:
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi .
Bài 35:
Cho phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi .
Bài 36:
Bài 37:
Bài 38:
Bài 39:
Bài 40:
Bài 41:
Bài 42:
Bài 43:
Bài 44:
Bài 45:
Bài 46:
Bài 47:
Bài 48:
Bài 49:
Bài 50:
Bài 51:
Bài 52:
Bài 53:
Bài 54:
Bài 55:
Bài 56:
Bài 57:
Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.