giúp e giải chi tiết ạ Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên bằng $2a\sqrt2.$ Gọi,O là tâm của đáy.,,a) Độ dài $SO=a\sqrt6$,b) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $4a^3\sqrt6$,c) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60'.,d) Khoảng cách từ điểm O đến mặt bên bằng $\frac{a\sqrt{42}}{a\sqrt{42}}$,Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot(ABCD).$ ABCD là hình thoi cạnh a, $AC=a,~SA=\frac a2.$,,$a)~BD\bot(SAC).$,b) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a^3\sqrt3}4$,c) Góc giữa SD và (ABCD) nhỏ hơn $30^0$,d) Số đo của góc nhị diện $[S,CD,A]$ bằng $30^0.$

Question

giúp e giải chi tiết ạ Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên bằng $2a\sqrt2.$ Gọi,O là tâm của đáy.,

,a) Độ dài $SO=a\sqrt6$,b) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $4a^3\sqrt6$,c) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60'.,d) Khoảng cách từ điểm O đến mặt bên bằng $\frac{a\sqrt{42}}{a\sqrt{42}}$,Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\bot(ABCD).$ ABCD là hình thoi cạnh a, $AC=a,~SA=\frac a2.$,

,$a)~BD\bot(SAC).$,b) Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a^3\sqrt3}4$,c) Góc giữa SD và (ABCD) nhỏ hơn $30^0$,d) Số đo của góc nhị diện $[S,CD,A]$ bằng $30^0.$

Accepted Answer

Câu 12:
Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

a) Độ dài SO

Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều, nghĩa là đỉnh S thẳng đứng trên tâm O của đáy ABCD. Ta cần tính độ dài SO.

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, nên đường chéo của đáy là:
$$ AC = BD = 2a\sqrt{2} $$

- Tâm O của đáy ABCD nằm ở giao điểm của hai đường chéo, do đó OA = OB = OC = OD = a√2.

- Xét tam giác SOA, ta có:
$$ SA = 2a\sqrt{2} $$
$$ OA = a\sqrt{2} $$

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA:
$$ SO^2 + OA^2 = SA^2 $$
$$ SO^2 + (a\sqrt{2})^2 = (2a\sqrt{2})^2 $$
$$ SO^2 + 2a^2 = 8a^2 $$
$$ SO^2 = 6a^2 $$
$$ SO = a\sqrt{6} $$

Vậy độ dài SO là:
$$ SO = a\sqrt{6} $$

b) Thể tích khối chóp S.ABCD

Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức:
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} $$

- Diện tích đáy ABCD là:
$$ S_{ABCD} = (2a)^2 = 4a^2 $$

- Chiều cao SO đã tính ở phần a là:
$$ SO = a\sqrt{6} $$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:
$$ V = \frac{1}{3} \times 4a^2 \times a\sqrt{6} = \frac{4a^3\sqrt{6}}{3} $$

c) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ABCD là góc SOA.

- Trong tam giác SOA, ta có:
$$ SO = a\sqrt{6} $$
$$ OA = a\sqrt{2} $$
$$ SA = 2a\sqrt{2} $$

Ta tính cos của góc SOA:
$$ \cos(\angle SOA) = \frac{OA}{SA} = \frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{2} $$

Vậy góc SOA là:
$$ \angle SOA = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ $$

d) Khoảng cách từ điểm O đến mặt bên

Khoảng cách từ điểm O đến mặt bên SAB là khoảng cách từ O đến đường thẳng AB.

- Xét tam giác SOB, ta có:
$$ SO = a\sqrt{6} $$
$$ OB = a\sqrt{2} $$
$$ SB = 2a\sqrt{2} $$

Ta tính diện tích tam giác SOB bằng hai cách:
$$ S_{SOB} = \frac{1}{2} \times SO \times OB = \frac{1}{2} \times a\sqrt{6} \times a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{12}}{2} = a^2\sqrt{3} $$

Cũng có thể tính diện tích tam giác SOB bằng:
$$ S_{SOB} = \frac{1}{2} \times SB \times h $$

Trong đó, h là khoảng cách từ O đến SB. Ta có:
$$ a^2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 2a\sqrt{2} \times h $$
$$ a^2\sqrt{3} = a\sqrt{2} \times h $$
$$ h = \frac{a^2\sqrt{3}}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} $$

Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt bên SAB là:
$$ h = \frac{a\sqrt{6}}{2} $$

Kết luận

a) Độ dài SO là $ a\sqrt{6} $.

b) Thể tích khối chóp S.ABCD là $ \frac{4a^3\sqrt{6}}{3} $.

c) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là $ 60^\circ $.

d) Khoảng cách từ điểm O đến mặt bên là $ \frac{a\sqrt{6}}{2} $.

Câu 13:
a) Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BD$. 
Mặt khác, ABCD là hình thoi nên $AC\perp BD$. 
Do đó $BD\perp (SAC)$.
b) Diện tích đáy $S_{ABCD}=a\times \frac{a\sqrt{3}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$. 
Thể tích khối chóp $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\times \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\times \frac{a}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$.
c) Gọi H là trung điểm của AC thì $SDH$ là góc giữa SD và $(ABCD)$. 
Ta có $DH=\sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. 
$\sin \angle SDH=\frac{SH}{SD}=\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle SDH=30^{\circ}$. 
Vậy góc giữa SD và $(ABCD)$ bằng $30^{\circ}$.
d) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. 
Ta có $SO\perp CD, AO\perp CD$. 
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ACD)$ là góc giữa SO và OA. 
Ta có $SO=\frac{a}{2}, OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. 
$\sin \angle SOA=\frac{SO}{OA}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \angle SOA>30^{\circ}$. 
Vậy số đo của góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ACD)$ lớn hơn $30^{\circ}$.