Giải hộ mình câu này với các bạn ĐỀ THI OLYMPIC,ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 7,NĂM HỌC 2024 - 2025,(Thời gian làm bài 120 phút),Bài 1: (5,0 điểm) Thực hiện các phép tính sau:,$a)~\frac{2^{12}.3^5-4^6.81}{(2^2.3)^6+8^4.3^5};$ $b)~\frac12-\frac{-2}5+\frac13+\frac57-\frac{-1}6+\frac{-4}{35}+\frac1{41}$,$c)~(\frac{0,4-\frac29+\sqrt{\frac4{121}}}{1,4-\frac79+\frac7{11}}-\frac{\frac13-0,25+\frac15}{1\frac16-0,875+70\%}):\frac{2024}{2025}$,Bài 2: (4,0 điểm),a) Tìm x biết: $|-2|.3^x+3^{x+2}=99$,b) Cho 3 số x, y,zzkkáác 0vvàtthỏamãnnđđiềukkện: $\frac{y+z-x}x=\frac{z+x-y}y=\frac{x+y-z}z$,Hãy tính giá trị của biểu thức: $B=(1+\frac xy)(1+\frac yz)(1+\frac zx).$,Bài 3: ( 4,0 điểm),a) Tổng số thóc ở ba kho thóc lúc đầu là 710 tấn. Sau khi bán đi $\frac15$ số thóc ở kho,$I,~\frac16$ số thóc ở kho II và $\frac1{11}$ số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi,lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?,b) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $5.(x-2025)^2=24-y^2.$,Bài 4: (6,0 điểm),1) Cho góc xOy bằng $90^0.$ Oz là tia phân giác của góc xOy . Trên tia Oz lấy,điểm A. Từ A kẻ AB vuông góc với Ox tại B, kẻ AC vuông góc với Oy tại C.,a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân.,b) Gọi D là điểm tùy ý trên đoạn thẳng OB, nối A với D. Tia phân giác của góc,CAD cắt tia Oy tại E. Chứng minh rằng $AD=CE+BD.$,2) Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G (các,điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB).,Chứng minh rằng $3(AG+BG+CG)

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn ĐỀ THI OLYMPIC,ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN - LỚP 7,NĂM HỌC 2024 - 2025,(Thời gian làm bài 120 phút),Bài 1: (5,0 điểm) Thực hiện các phép tính sau:,$a)~\frac{2^{12}.3^5-4^6.81}{(2^2.3)^6+8^4.3^5};$ $b)~\frac12-\frac{-2}5+\frac13+\frac57-\frac{-1}6+\frac{-4}{35}+\frac1{41}$,$c)~(\frac{0,4-\frac29+\sqrt{\frac4{121}}}{1,4-\frac79+\frac7{11}}-\frac{\frac13-0,25+\frac15}{1\frac16-0,875+70\%}):\frac{2024}{2025}$,Bài 2: (4,0 điểm),a) Tìm x biết: $|-2|.3^x+3^{x+2}=99$,b) Cho 3 số x, y,zzkkáác 0vvàtthỏamãnnđđiềukkện: $\frac{y+z-x}x=\frac{z+x-y}y=\frac{x+y-z}z$,Hãy tính giá trị của biểu thức: $B=(1+\frac xy)(1+\frac yz)(1+\frac zx).$,Bài 3: ( 4,0 điểm),a) Tổng số thóc ở ba kho thóc lúc đầu là 710 tấn. Sau khi bán đi $\frac15$ số thóc ở kho,$I,~\frac16$ số thóc ở kho II và $\frac1{11}$ số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau. Hỏi,lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?,b) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $5.(x-2025)^2=24-y^2.$,Bài 4: (6,0 điểm),1) Cho góc xOy bằng $90^0.$ Oz là tia phân giác của góc xOy . Trên tia Oz lấy,điểm A. Từ A kẻ AB vuông góc với Ox tại B, kẻ AC vuông góc với Oy tại C.,a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân.,b) Gọi D là điểm tùy ý trên đoạn thẳng OB, nối A với D. Tia phân giác của góc,CAD cắt tia Oy tại E. Chứng minh rằng $AD=CE+BD.$,2) Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G (các,điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB).,Chứng minh rằng $3(AG+BG+CG)<2(AB+AC+BC).$,Bài 5: (1,0 điểm),Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong tam giác đều,có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là ba,điểm trong 19 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn $\frac19.$,-----Hết-----

Accepted Answer

Bài 1:
a) Ta có:
$$
\frac{2^{12} \cdot 3^5 - 4^6 \cdot 81}{(2^2 \cdot 3)^6 + 8^4 \cdot 3^5}
$$
Chuyển đổi các số thành lũy thừa cơ sở 2 và 3:
$$
= \frac{2^{12} \cdot 3^5 - (2^2)^6 \cdot 3^4}{(2^2 \cdot 3)^6 + (2^3)^4 \cdot 3^5}
$$
$$
= \frac{2^{12} \cdot 3^5 - 2^{12} \cdot 3^4}{2^{12} \cdot 3^6 + 2^{12} \cdot 3^5}
$$
Rút gọn chung:
$$
= \frac{2^{12} \cdot 3^4 (3 - 1)}{2^{12} \cdot 3^5 (3 + 1)}
$$
$$
= \frac{2^{12} \cdot 3^4 \cdot 2}{2^{12} \cdot 3^5 \cdot 4}
$$
$$
= \frac{2}{3 \cdot 4}
$$
$$
= \frac{2}{12}
$$
$$
= \frac{1}{6}
$$

b) Ta có:
$$
\frac{1}{2} - \frac{-2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{5}{7} - \frac{-1}{6} + \frac{-4}{35} + \frac{1}{41}
$$
Chuyển đổi các số âm thành dương:
$$
= \frac{1}{2} + \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{5}{7} + \frac{1}{6} - \frac{4}{35} + \frac{1}{41}
$$
Quy đồng mẫu số:
$$
= \frac{105}{210} + \frac{84}{210} + \frac{70}{210} + \frac{150}{210} + \frac{35}{210} - \frac{24}{210} + \frac{5}{210}
$$
Cộng các phân số:
$$
= \frac{105 + 84 + 70 + 150 + 35 - 24 + 5}{210}
$$
$$
= \frac{425}{210}
$$
Rút gọn phân số:
$$
= \frac{85}{42}
$$

c) Ta có:
$$
\left( \frac{0,4 - \frac{2}{9} + \sqrt{\frac{4}{121}}}{1,4 - \frac{7}{9} + \frac{7}{11}} - \frac{\frac{1}{3} - 0,25 + \frac{1}{5}}{1\frac{1}{6} - 0,875 + 70\%} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
Chuyển đổi các số thập phân và phần trăm thành phân số:
$$
= \left( \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{9} + \frac{2}{11}}{\frac{7}{5} - \frac{7}{9} + \frac{7}{11}} - \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5}}{\frac{7}{6} - \frac{7}{8} + \frac{7}{10}} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
Quy đồng mẫu số:
$$
= \left( \frac{\frac{198}{495} - \frac{110}{495} + \frac{90}{495}}{\frac{693}{495} - \frac{385}{495} + \frac{315}{495}} - \frac{\frac{20}{60} - \frac{15}{60} + \frac{12}{60}}{\frac{140}{120} - \frac{105}{120} + \frac{84}{120}} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
Cộng các phân số:
$$
= \left( \frac{\frac{178}{495}}{\frac{623}{495}} - \frac{\frac{17}{60}}{\frac{119}{120}} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
Rút gọn phân số:
$$
= \left( \frac{178}{623} - \frac{17}{60} \times \frac{120}{119} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
$$
= \left( \frac{178}{623} - \frac{34}{119} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
Quy đồng mẫu số:
$$
= \left( \frac{178}{623} - \frac{170}{623} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
$$
= \left( \frac{8}{623} \right) : \frac{2024}{2025}
$$
Chia phân số:
$$
= \frac{8}{623} \times \frac{2025}{2024}
$$
$$
= \frac{8 \times 2025}{623 \times 2024}
$$
$$
= \frac{16200}{1261232}
$$
Rút gọn phân số:
$$
= \frac{2025}{157654}
$$

Đáp số:
a) $\frac{1}{6}$
b) $\frac{85}{42}$
c) $\frac{2025}{157654}$

Bài 2:
a) Ta có:
$|-2|.3^x+3^{x+2}=99$
$2\times 3^x+3^x\times 3^2=99$
$2\times 3^x+3^x\times 9=99$
$3^x\times (2+9)=99$
$3^x\times 11=99$
$3^x=9$
$3^x=3^2$
$x=2$
b) Ta có:
$\frac{y+z-x}x=\frac{z+x-y}y=\frac{x+y-z}z$
$\frac{y+z-x}x=\frac{(z+x-y)+(x+y-z)}{y+z}$
$\frac{y+z-x}x=\frac{2x}{y+z}$
$(y+z-x)\times (y+z)=2x\times x$
$y^2+y\times z+z\times y+z^2-x\times y-x\times z=y\times x$
$y^2+y\times z+z\times y+z^2-x\times y-x\times z=x\times y$
$y^2+y\times z+z\times y+z^2-x\times y-x\times z-x\times y=0$
$y^2+y\times z+z\times y+z^2-2\times x\times y-x\times z=0$
$y\times y+y\times z+z\times y+z\times z-2\times x\times y-x\times z=0$
$y\times (y+z)+z\times (y+z)-2\times x\times y-x\times z=0$
$y\times (y+z)+z\times (y+z)-x\times (2\times y+z)=0$
$(y+z)\times (y+z)-x\times (2\times y+z)=0$
$(y+z)^2-x\times (2\times y+z)=0$
$(y+z)^2=x\times (2\times y+z)$
Tương tự ta có:
$(z+x)^2=y\times (2\times z+x)$
$(x+y)^2=z\times (2\times x+y)$
Ta có:
$B=(1+\frac xy)(1+\frac yz)(1+\frac zx)$
$B=(\frac{x+y}{x})(\frac{y+z}{z})(\frac{z+x}{y})$
$B=\frac{(x+y)\times (y+z)\times (z+x)}{x\times y\times z}$
$B=\frac{z\times (2\times x+y)\times x\times (2\times y+z)\times y\times (2\times z+x)}{x\times y\times z}$
$B=(2\times x+y)\times (2\times y+z)\times (2\times z+x)$
$B=(2\times x+y)\times (2\times y+z)\times (2\times z+x)$
$B=8\times x\times y\times z+4\times x\times y\times z+4\times x\times y\times z+2\times x\times y\times z+2\times x\times y\times z+x\times y\times z$
$B=18\times x\times y\times z$
$B=18$

Bài 3:
a) Gọi số thóc ban đầu ở các kho I, II, III lần lượt là a, b, c (tấn, điều kiện: a, b, c > 0)
Theo đề bài ta có:
$a+b+c=710$
$\frac{4}{5}a=\frac{5}{6}b=\frac{10}{11}c$
Từ đây ta có:
$\frac{a}{25}=\frac{b}{24}=\frac{c}{22}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\frac{a}{25}=\frac{b}{24}=\frac{c}{22}=\frac{a+b+c}{25+24+22}=\frac{710}{71}=10$
Vậy $a=250,~b=240,~c=220$
Đáp số: 250 tấn, 240 tấn, 220 tấn
b) Ta có:
$5(x-2025)^2+24+y^2=0$
$(x-2025)^2+y^2=0$
Vì $(x-2025)^2\geq 0,~y^2\geq 0$ nên để $(x-2025)^2+y^2=0$ thì $(x-2025)^2=y^2=0$
Vậy $x=2025,~y=0$
Đáp số: $(2025;0)$

Bài 4:
1) a) Ta có $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}=45^\circ$ nên tam giác ABC vuông cân tại A.

b) Ta có $\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}=\widehat{BAC}=90^\circ$ nên $\widehat{DAE}=\widehat{CAE}$.

Lại có $\widehat{AEC}=\widehat{ADE}$ (hai góc so le trong) nên tam giác ADE và tam giác AEC có:

$\widehat{DAE}=\widehat{CAE}$

AE là cạnh chung

$\widehat{AED}=\widehat{ACE}$

Nên tam giác ADE và tam giác AEC đồng dạng (g.c.g)

Suy ra AD = AE

Mà BD = BE (vì tam giác ABE vuông cân tại A)

Nên AD = CE + BD

2) Ta có AG < AB + BG (vì tổng hai cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại)

BG < AC + CG

CG < AB + AG

Cộng vế với vế ta được:

$3(AG + BG + CG) < 2(AB + AC + BC)$

Bài 5:
Chia tam giác đều có diện tích bằng 1 thành 9 tam giác đều nhỏ hơn có diện tích bằng $\frac{1}{9}$. 
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 19 điểm sẽ có ít nhất 3 điểm nằm trong một tam giác đều nhỏ hơn. 
Tam giác có ba đỉnh là ba điểm này sẽ có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{9}$. 
Mặt khác, diện tích tam giác này không thể bằng $\frac{1}{9}$ vì nếu bằng thì ba đỉnh của tam giác này phải trùng với ba đỉnh của tam giác đều nhỏ hơn, điều này mâu thuẫn với giả thiết không có ba điểm nào thẳng hàng. 
Vậy diện tích tam giác này phải nhỏ hơn $\frac{1}{9}$.