giuptoivoi Câu 14: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $A(1;-1;5),~B(0;0;1)$ và song song với Oy là,$A.~x-4z+1=0$ $B.~4y-z+1=0$ $C.~4x-y+1=0$ $D.~4x-z+1=0$,Câu 15: Cho 4 điềm $A(3;-2;-2),~B(3;2;0),~C(0;2;1)$ và $D(-1;1;2).$ Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt,phẳng (BCD) có phương trình là:,$A.~(x+3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=\sqrt{14}$ $B.~(x+3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=14$,$C.~(x-3)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=14$ $D.~(x-3)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=\sqrt{14}$,Câu 16: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $I(1;0;-2),$ bán kính $R=\sqrt2$,$A.~(S):~(x-1)^2+y^2+(z-2)^2=2$ $B.~(S):~(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=2.$,$C.~(S):~(x+1)^2+y^2+(z-2)^2=2$ $D.~(S):~(x-1)^2+y^2+(z-2)^2=2$,Câu 17: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x-y-z=0?$,$A.~\overrightarrow n=(2;1;-1)$ $B.~\overrightarrow n=(1;2;0)$ $C.~\overrightarrow n=(0;1;2)$ $D.~\overrightarrow n=(-2;1;1)$,Câu 18: Hai mặt phẳng $(\alpha):~3x+2y-z+1=0$ và $(\alpha^\prime):3x+y+10z-1=0$,A. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau; B. Trùng nhau;,C. Vuông góc với nhau. D. Song song với nhau;

Question

Accepted Answer

Câu 14:
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm $ A(1, -1, 5) $ và $ B(0, 0, 1) $ và song song với trục Oy, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   Mặt phẳng song song với trục Oy, do đó vectơ đơn vị dọc theo trục Oy là $ \mathbf{j} = (0, 1, 0) $. Vectơ này sẽ là một trong các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

2. Tìm vectơ $ \overrightarrow{AB} $:
   $$
   \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1, 0 + 1, 1 - 5) = (-1, 1, -4)
   $$

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
   Vì mặt phẳng song song với trục Oy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ vuông góc với $ \mathbf{j} = (0, 1, 0) $ và $ \overrightarrow{AB} = (-1, 1, -4) $.

Ta tính tích có hướng của hai vectơ này:
   $$
   \mathbf{n} = \mathbf{j} \times \overrightarrow{AB} = 
   \begin{vmatrix}
   \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
   0 & 1 & 0 \
   -1 & 1 & -4
   \end{vmatrix}
   = \mathbf{i}(1 \cdot (-4) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot (-4) - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1))
   = \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(1)
   = (-4, 0, 1)
   $$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $ \mathbf{n} = (-4, 0, 1) $.

4. Lập phương trình mặt phẳng:
   Phương trình mặt phẳng có dạng $ ax + by + cz + d = 0 $, trong đó $ (a, b, c) $ là vectơ pháp tuyến và $ d $ là hằng số. Thay $ \mathbf{n} = (-4, 0, 1) $ vào phương trình:
   $$
   -4x + 0y + z + d = 0
   $$
   Để tìm $ d $, thay tọa độ của điểm $ A(1, -1, 5) $ vào phương trình:
   $$
   -4(1) + 0(-1) + 5 + d = 0
   $$
   $$
   -4 + 5 + d = 0
   $$
   $$
   1 + d = 0
   $$
   $$
   d = -1
   $$

Vậy phương trình mặt phẳng là:
   $$
   -4x + z - 1 = 0
   $$
   hoặc
   $$
   4x - z + 1 = 0
   $$

Do đó, phương án đúng là:
$$
\boxed{D.~4x - z + 1 = 0}
$$

Câu 15:
Để tìm phương trình mặt cầu tâm $ A(3, -2, -2) $ và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình mặt phẳng (BCD):
   - Ta có ba điểm $ B(3, 2, 0) $, $ C(0, 2, 1) $, và $ D(-1, 1, 2) $.
   - Vector $ \overrightarrow{BC} = (-3, 0, 1) $
   - Vector $ \overrightarrow{BD} = (-4, -1, 2) $

Vector pháp tuyến $ \vec{n} $ của mặt phẳng (BCD) là tích vector của $ \overrightarrow{BC} $ và $ \overrightarrow{BD} $:
   $$
   \vec{n} = \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   -3 & 0 & 1 \
   -4 & -1 & 2
   \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}((-3) \cdot 2 - 1 \cdot (-4)) + \vec{k}((-3) \cdot (-1) - 0 \cdot (-4))
   $$
   $$
   \vec{n} = \vec{i}(1) - \vec{j}(-6 + 4) + \vec{k}(3) = \vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{k}
   $$

Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng:
   $$
   x + 2y + 3z + d = 0
   $$

Thay tọa độ điểm $ B(3, 2, 0) $ vào phương trình để tìm $ d $:
   $$
   3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + d = 0 \implies 3 + 4 + d = 0 \implies d = -7
   $$

Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là:
   $$
   x + 2y + 3z - 7 = 0
   $$

2. Tính khoảng cách từ tâm $ A(3, -2, -2) $ đến mặt phẳng (BCD):
   Khoảng cách $ d $ từ điểm $ A(x_0, y_0, z_0) $ đến mặt phẳng $ ax + by + cz + d = 0 $ được tính bằng công thức:
   $$
   d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
   $$

Thay $ A(3, -2, -2) $ và phương trình mặt phẳng $ x + 2y + 3z - 7 = 0 $:
   $$
   d = \frac{|3 + 2(-2) + 3(-2) - 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|3 - 4 - 6 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|-14|}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}
   $$

3. Viết phương trình mặt cầu:
   Mặt cầu tâm $ A(3, -2, -2) $ và bán kính $ R = \sqrt{14} $ có phương trình:
   $$
   (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = (\sqrt{14})^2 = 14
   $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = 14
$$

Đáp án đúng là: 
$$ C.~(x-3)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=14 $$

Câu 16:
Phương trình mặt cầu có tâm $ I(a, b, c) $ và bán kính $ R $ là:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$

Trong bài này, tâm $ I(1, 0, -2) $ và bán kính $ R = \sqrt{2} $. Do đó, ta thay các giá trị vào phương trình mặt cầu:
$$ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z - (-2))^2 = (\sqrt{2})^2 $$
$$ (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 2 $$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$ (S): (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 2 $$

Đáp án đúng là:
$$ B.~(S):~(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=2 $$

Câu 17:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $2x - y - z = 0$ là vectơ có các thành phần tương ứng với các hệ số của $x$, $y$, và $z$ trong phương trình mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng đã cho là:
$$ 2x - y - z = 0 $$

Từ đây, ta thấy rằng:
- Hệ số của $x$ là 2,
- Hệ số của $y$ là -1,
- Hệ số của $z$ là -1.

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là:
$$ \overrightarrow{n} = (2, -1, -1) $$

Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng:
$$ A.~\overrightarrow{n} = (2;1;-1) $$
$$ B.~\overrightarrow{n} = (1;2;0) $$
$$ C.~\overrightarrow{n} = (0;1;2) $$
$$ D.~\overrightarrow{n} = (-2;1;1) $$

Trong các lựa chọn trên, không có lựa chọn nào đúng với vectơ pháp tuyến $(2, -1, -1)$. Tuy nhiên, nếu ta xét đến các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng lựa chọn D gần đúng nhất với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, nhưng với dấu âm ở thành phần đầu tiên.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ D.~\overrightarrow{n} = (-2;1;1) $$

Đáp án: $D.~\overrightarrow{n} = (-2;1;1)$

Câu 18:
Để xác định mối quan hệ giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\alpha')$, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, vuông góc và cắt nhau.

1. Kiểm tra điều kiện song song:
   - Hai mặt phẳng song song nếu các hệ số tương ứng của chúng tỉ lệ với nhau.
   - Mặt phẳng $(\alpha): 3x + 2y - z + 1 = 0$ có các hệ số $(3, 2, -1)$.
   - Mặt phẳng $(\alpha'): 3x + y + 10z - 1 = 0$ có các hệ số $(3, 1, 10)$.
   - Ta thấy rằng $\frac{3}{3} = 1$, $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{-1}{10} = -\frac{1}{10}$.
   - Các hệ số không tỉ lệ với nhau, do đó hai mặt phẳng không song song.

2. Kiểm tra điều kiện vuông góc:
   - Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0.
   - Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\vec{n_1} = (3, 2, -1)$.
   - Vectơ pháp tuyến của $(\alpha')$ là $\vec{n_2} = (3, 1, 10)$.
   - Tích vô hướng $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 3 \times 3 + 2 \times 1 + (-1) \times 10 = 9 + 2 - 10 = 1$.
   - Tích vô hướng không bằng 0, do đó hai mặt phẳng không vuông góc.

3. Kết luận:
   - Vì hai mặt phẳng không song song và không vuông góc, nên chúng phải cắt nhau.

Do đó, đáp án đúng là:
A. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.