Giúp mình vs Họ và tên.....,Câu 1. Cho elip $(E):~x^2+4y^2-40=0.$ Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:,a) Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{10}=1.$,$b)~(E)$ có các tiêu điểm $F_1(30;0)$ và $F_2(-30;0).$,c) Tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip tới hai tiêu điểm bằng $2\sqrt{10}.$,$d)~(E)$ có chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng $6\sqrt{10}.$,Câu 2. Phương trình chính tắc của (E) có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $4\sqrt3$ là,Câu 3. Phương trình chính tắc của (E) có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm $A(5;0)$ là,Câu 4. u 4. Phương trình chính tắc của đường hypebol (H) có một tiêu điểm là $F_2(6;0)$ và đi qua điểm $A_2(4;0)$,là:

Question

Accepted Answer

Câu 1.
a) Đúng vì $(E):~x^2+4y^2-40=0$ suy ra $\frac{x^2}{40}+\frac{y^2}{10}=1.$
b) Sai vì $(E)$ có các tiêu điểm $F_1(6;0)$ và $F_2(-6;0).$
c) Sai vì tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip tới hai tiêu điểm bằng $2\sqrt{40}=4\sqrt{10}.$
d) Đúng vì chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng $2(\sqrt{40}+\sqrt{10})=6\sqrt{10}.$

Câu 2.
Để tìm phương trình chính tắc của elip (E) với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số cơ bản của elip:
   - Độ dài tiêu cự $2c = 4\sqrt{3}$. Do đó, $c = 2\sqrt{3}$.
   - Độ dài trục lớn $2a$ và độ dài trục nhỏ $2b$. Theo đề bài, độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ, tức là $2a = 2 \times 2b$ hay $a = 2b$.

2. Áp dụng mối liên hệ giữa $a$, $b$, và $c$:
   - Ta biết rằng trong elip, $c^2 = a^2 - b^2$.
   - Thay $c = 2\sqrt{3}$ và $a = 2b$ vào công thức trên:
     $$
     (2\sqrt{3})^2 = (2b)^2 - b^2
     $$
     $$
     12 = 4b^2 - b^2
     $$
     $$
     12 = 3b^2
     $$
     $$
     b^2 = 4
     $$
     $$
     b = 2
     $$

3. Tìm giá trị của $a$:
   - Vì $a = 2b$, nên $a = 2 \times 2 = 4$.

4. Viết phương trình chính tắc của elip:
   - Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
   - Thay $a = 4$ và $b = 2$ vào phương trình:
     $$
     \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1
     $$
     $$
     \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1
     $$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
$$
\boxed{\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1}
$$

Câu 3.
Để tìm phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm $ A(5;0) $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số cơ bản của elip:
   - Elip có tiêu cự $ 2c = 6 $, suy ra $ c = 3 $.
   - Phương trình chính tắc của elip có dạng: 
     $$
     \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
     $$
   - Với $ a > b $ và $ c^2 = a^2 - b^2 $.

2. Sử dụng điều kiện elip đi qua điểm $ A(5;0) $:
   - Thay tọa độ điểm $ A(5;0) $ vào phương trình elip:
     $$
     \frac{5^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \implies \frac{25}{a^2} = 1 \implies a^2 = 25 \implies a = 5
     $$

3. Tìm giá trị của $ b $:
   - Ta đã biết $ c = 3 $ và $ a = 5 $. Áp dụng công thức $ c^2 = a^2 - b^2 $:
     $$
     3^2 = 5^2 - b^2 \implies 9 = 25 - b^2 \implies b^2 = 16 \implies b = 4
     $$

4. Viết phương trình chính tắc của elip:
   - Thay $ a = 5 $ và $ b = 4 $ vào phương trình chính tắc:
     $$
     \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1
     $$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
$$
\boxed{\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1}
$$

Câu 4.
Để tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) với tiêu điểm $F_2(6;0)$ và đi qua điểm $A_2(4;0)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số cơ bản:

   - Đường hypebol có tiêu điểm $F_2(6;0)$, do đó trung tâm của đường hypebol nằm tại gốc tọa độ $(0,0)$.
   - Điểm $A_2(4;0)$ nằm trên đường hypebol.

2. Xác định phương trình chính tắc của đường hypebol:

   Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng:
   $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

3. Tìm khoảng cách từ trung tâm đến tiêu điểm:

   Khoảng cách từ trung tâm $(0,0)$ đến tiêu điểm $F_2(6,0)$ là $c$:
   $$ c = 6 $$

4. Tìm khoảng cách từ trung tâm đến đỉnh:

   Điểm $A_2(4,0)$ là đỉnh của đường hypebol, do đó khoảng cách từ trung tâm đến đỉnh là $a$:
   $$ a = 4 $$

5. Tính $b^2$:

   Ta biết rằng trong đường hypebol, mối liên hệ giữa $a$, $b$, và $c$ là:
   $$ c^2 = a^2 + b^2 $$
   Thay các giá trị đã biết vào:
   $$ 6^2 = 4^2 + b^2 $$
   $$ 36 = 16 + b^2 $$
   $$ b^2 = 36 - 16 $$
   $$ b^2 = 20 $$

6. Viết phương trình chính tắc của đường hypebol:

   Thay $a^2 = 16$ và $b^2 = 20$ vào phương trình chính tắc:
   $$ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1 $$

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol (H) là:
$$ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1 $$