Câu 1:
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm hệ số góc của đường thẳng :
Đường thẳng có phương trình tổng quát là . Ta viết lại phương trình này dưới dạng phương trình đoạn chắn:
Từ đây, ta thấy hệ số góc của đường thẳng là .
2. Viết phương trình đường thẳng :
Vì đường thẳng song song với đường thẳng , nên chúng có cùng hệ số góc. Do đó, phương trình đường thẳng sẽ có dạng:
Để tìm , ta thay tọa độ điểm vào phương trình trên:
Vậy phương trình đường thẳng là:
3. Chuyển đổi phương trình về dạng tổng quát:
Nhân cả hai vế của phương trình với 3 để loại bỏ mẫu số:
So sánh với phương trình tổng quát , ta nhận thấy và .
4. Tính :
Vậy đáp án là .
Câu 2:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D dựa trên thông tin đã cho.
2. Tìm phương trình đường thẳng AC và đường thẳng BN.
3. Tìm giao điểm E của hai đường thẳng AC và BN.
4. Xác định tọa độ của điểm C.
5. Tính giá trị của S = 2a + 3b.
Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D
Giả sử tọa độ của điểm C là (a, b). Vì M và N là trung điểm của AB và CD, nên tọa độ của M và N sẽ là:
M = (a + 1, b)
N = (a - 1, b)
Vì AB = 2BC, nên tọa độ của điểm A sẽ là (a - 2, b) và tọa độ của điểm D sẽ là (a, b - 2).
Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng AC và đường thẳng BN
Phương trình đường thẳng AC:
Điểm C(a, b) và điểm A(a - 2, b) nằm trên đường thẳng AC. Ta có:
Phương trình đường thẳng BN:
Điểm B(a - 1, b) và điểm N(a - 1, b) nằm trên đường thẳng BN. Ta có:
Bước 3: Tìm giao điểm E của hai đường thẳng AC và BN
Giao điểm E của hai đường thẳng AC và BN là điểm có tọa độ . Do đó, ta có:
Bước 4: Xác định tọa độ của điểm C
Tọa độ của điểm C là (a, 1). Vì phương trình đường thẳng CM là , ta thay tọa độ của điểm C vào phương trình này:
Bước 5: Tính giá trị của S = 2a + 3b
Ta có:
Vậy giá trị của S là 7.
Câu 3:
Để tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp elip, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định phương trình của elip:
Elip có khoảng cách giữa hai tiêu điểm là m, tức là m.
Tổng khoảng cách từ một điểm M bất kỳ thuộc elip đến hai tiêu điểm là 10 m, tức là m.
Ta có m.
Phương trình của elip là:
2. Xác định diện tích của hình chữ nhật nội tiếp elip:
Gọi tọa độ của đỉnh của hình chữ nhật là . Diện tích của hình chữ nhật là:
Vì nằm trên elip nên ta có:
Giải ra :
Thay vào diện tích:
3. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích:
Để tìm giá trị lớn nhất của , ta xét hàm số:
Đạo hàm của :
Đặt :
Thay vào phương trình elip để tìm :
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là:
Đáp số: Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật dùng để trồng hoa là .
Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tổ hợp để tính số tam giác có thể tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều có 10 cạnh.
Bước 1: Xác định số đỉnh của đa giác.
- Đa giác đều có 10 cạnh thì có 10 đỉnh.
Bước 2: Chọn 3 đỉnh bất kỳ từ 10 đỉnh để tạo thành một tam giác.
- Số cách chọn 3 đỉnh từ 10 đỉnh là:
Vậy số tam giác có thể tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều có 10 cạnh là 120.
Đáp số: 120 tam giác.
Câu 5:
Tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn là . Số lượng các số trong tập hợp này là 21.
Các số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là:
- Từ 30 đến 39: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 (9 số)
- Từ 40 đến 49: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 (9 số)
Số lượng các số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là .
Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là:
Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có:
Đáp số: 0.86
Câu 6:
Để tính xác suất của biến cố "hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm tổng số cách xếp 5 bạn vào 5 ghế:
- Số cách xếp 5 bạn vào 5 ghế là số hoán vị của 5 phần tử, tức là:
2. Tìm số cách xếp sao cho hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau:
- Xem An và Bình như một nhóm, nhóm này coi như một phần tử duy nhất. Như vậy, chúng ta có 4 phần tử để xếp (nhóm An-Bình và 3 bạn còn lại).
- Số cách xếp 4 phần tử này là:
- Trong nhóm An-Bình, An và Bình có thể đổi chỗ cho nhau, nên có 2 cách xếp An và Bình trong nhóm này.
- Vậy số cách xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau là:
3. Tính xác suất của biến cố "hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau":
- Xác suất của biến cố này là tỉ số giữa số cách xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau và tổng số cách xếp 5 bạn vào 5 ghế:
Vậy xác suất của biến cố "hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau" là .