Câu 1.
Để tìm nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản.
Công thức nguyên hàm của hàm số là:
Trong đó, là hằng số dương khác 1 và là lôgarit tự nhiên của .
Áp dụng công thức này vào hàm số :
1. Xác định .
2. Tính .
Do đó, nguyên hàm của là:
Vậy đáp án đúng là:
A.
Đáp án: A.
Câu 2.
Để tìm giá trị của , chúng ta cần xác định nguyên hàm của hàm số .
Bước 1: Tìm nguyên hàm của :
Bước 2: Xác định hằng số bằng cách sử dụng điều kiện :
Do đó:
Bước 3: Viết lại nguyên hàm với hằng số đã xác định:
Bước 4: Tính giá trị của :
Vậy giá trị của là:
Đáp án đúng là: A.
Câu 3.
Ta có:
Áp dụng tính chất của tích phân, ta có:
Thay các giá trị đã biết vào:
Giải phương trình này để tìm :
Vậy giá trị của biểu thức là 1.
Đáp án đúng là: B. 1.
Câu 4.
Để tìm diện tích hình phẳng được gạch chéo, chúng ta cần xác định phương trình của các đường thẳng và đường parabol, sau đó tính diện tích giữa chúng.
Bước 1: Xác định phương trình của các đường thẳng và đường parabol.
- Đường thẳng đi qua điểm (-1,0) và (2,0) có phương trình là y = -2x + 2.
- Đường parabol đi qua điểm (-1,0), (0,-4), và (2,0) có phương trình là y = -2x^2 + 2x + 4.
Bước 2: Tính diện tích giữa hai đường này từ x = -1 đến x = 2.
Diện tích hình phẳng được gạch chéo sẽ là tích phân của hiệu giữa phương trình đường thẳng và phương trình đường parabol từ x = -1 đến x = 2.
Bước 3: Rút gọn biểu thức trong tích phân.
Bước 4: So sánh với các đáp án đã cho.
Nhìn vào các đáp án, ta thấy rằng đáp án đúng là:
C.
Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng biểu thức trong tích phân của đáp án C không khớp với biểu thức đã rút gọn ở trên. Do đó, ta cần kiểm tra lại các đáp án khác.
Đáp án đúng là:
A.
Vậy đáp án đúng là:
A.
Câu 5.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có dạng:
Trong đó, là các thành phần của vectơ pháp tuyến , và là tọa độ của điểm .
Thay các giá trị vào phương trình:
Mở ngoặc và giản ước:
Do đó, phương trình mặt phẳng là:
Tuy nhiên, ta thấy rằng đáp án này không nằm trong các lựa chọn đã cho. Ta kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để xem có sự nhầm lẫn nào không.
Các lựa chọn đã cho là:
B.
C.
D.
Ta thấy rằng phương trình không đúng với bất kỳ lựa chọn nào. Tuy nhiên, nếu ta kiểm tra lại các lựa chọn, ta thấy rằng phương trình có thể là phương trình đúng nếu ta nhân cả hai vế của phương trình ban đầu với .
Nhân cả hai vế của phương trình với :
Do đó, phương trình đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
B.
Đáp số: B.
Câu 6.
Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Trong đó:
- là tọa độ của điểm , tức là .
- , , , và .
Thay các giá trị vào công thức:
Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chúng ta thấy rằng đáp án gần đúng nhất là . Do đó, ta chọn đáp án C.
Đáp án: C.
Câu 7.
Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng , ta cần xác định các hệ số của tham số trong phương trình tham số của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Từ phương trình trên, ta thấy:
- Hệ số của trong phương trình của là 2.
- Hệ số của trong phương trình của là -3.
- Hệ số của trong phương trình của là -9.
Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Vậy đáp án đúng là:
D. .
Câu 8.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
3. Lập phương trình đường thẳng:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
Do đó, phương án đúng là:
B.
Đáp án: B.