giải giúp tôi TOÁN 12 - HK2 - 2025 24 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI KỲ ?,O công phíct TOÁN 12 - HK2 - 207,Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho các điểm $A(2;2;0),~B(2;0;-2)$ và mặt phẳng $(P):~x+2y-z-1=0$,. Xét điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $MA=MB$ và số đo góc $\widehat{AMB}$ lớn nhất. Kh SỞ GIÁO DỤC,THÀNH PHỐ,đó giá trị $a+b+c$ (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng bao nhiêu? THPT

Question

giải giúp tôi TOÁN 12 - HK2 - 2025 24 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI KỲ ?,>O công phíct TOÁN 12 - HK2 - 207,Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho các điểm $A(2;2;0),~B(2;0;-2)$ và mặt phẳng $(P):~x+2y-z-1=0$,. Xét điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho $MA=MB$ và số đo góc $\widehat{AMB}$ lớn nhất. Kh SỞ GIÁO DỤC,THÀNH PHỐ,đó giá trị $a+b+c$ (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng bao nhiêu? THPT

Accepted Answer

Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện để $ M $ thuộc mặt phẳng $ (P) $:
   Mặt phẳng $ (P) $ có phương trình $ x + 2y - z - 1 = 0 $. Do đó, tọa độ của điểm $ M(a; b; c) $ phải thỏa mãn phương trình này:
   $$
   a + 2b - c - 1 = 0 \quad \text{(1)}
   $$

2. Tìm điều kiện để $ MA = MB $:
   Ta tính khoảng cách từ $ M $ đến $ A $ và $ B $:
   $$
   MA = \sqrt{(a - 2)^2 + (b - 2)^2 + c^2}
   $$
   $$
   MB = \sqrt{(a - 2)^2 + b^2 + (c + 2)^2}
   $$
   Để $ MA = MB $, ta có:
   $$
   (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + c^2 = (a - 2)^2 + b^2 + (c + 2)^2
   $$
   Giảm cả hai vế đi $ (a - 2)^2 $:
   $$
   (b - 2)^2 + c^2 = b^2 + (c + 2)^2
   $$
   Mở rộng các bình phương:
   $$
   b^2 - 4b + 4 + c^2 = b^2 + c^2 + 4c + 4
   $$
   Giảm cả hai vế đi $ b^2 + c^2 + 4 $:
   $$
   -4b = 4c
   $$
   Chia cả hai vế cho 4:
   $$
   -b = c \quad \text{hay} \quad c = -b \quad \text{(2)}
   $$

3. Thay $ c = -b $ vào phương trình (1):
   $$
   a + 2b - (-b) - 1 = 0
   $$
   $$
   a + 2b + b - 1 = 0
   $$
   $$
   a + 3b - 1 = 0 \quad \text{(3)}
   $$

4. Tìm giá trị của $ a $ và $ b $ để góc $ \widehat{AMB} $ lớn nhất:
   Góc $ \widehat{AMB} $ lớn nhất khi $ M $ nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng $ AB $ và đi qua trung điểm của $ AB $.

Trung điểm của $ AB $ là:
   $$
   I\left(\frac{2 + 2}{2}; \frac{2 + 0}{2}; \frac{0 - 2}{2}\right) = (2; 1; -1)
   $$

Vector $ \overrightarrow{AB} $ là:
   $$
   \overrightarrow{AB} = (2 - 2; 0 - 2; -2 - 0) = (0; -2; -2)
   $$

Đường thẳng vuông góc với $ \overrightarrow{AB} $ và đi qua $ I $ có phương trình tham số:
   $$
   \begin{cases}
   x = 2 \
   y = 1 + 2t \
   z = -1 - 2t
   \end{cases}
   $$

Thay vào phương trình (3):
   $$
   2 + 3(1 + 2t) - 1 = 0
   $$
   $$
   2 + 3 + 6t - 1 = 0
   $$
   $$
   4 + 6t = 0
   $$
   $$
   6t = -4
   $$
   $$
   t = -\frac{2}{3}
   $$

Thay $ t = -\frac{2}{3} $ vào phương trình tham số:
   $$
   y = 1 + 2\left(-\frac{2}{3}\right) = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}
   $$
   $$
   z = -1 - 2\left(-\frac{2}{3}\right) = -1 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}
   $$

Vậy tọa độ của $ M $ là:
   $$
   M\left(2; -\frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)
   $$

5. Tính $ a + b + c $:
   $$
   a + b + c = 2 + \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3} = 2
   $$

Vậy giá trị của $ a + b + c $ là $ 2 $.