Giúp e giải chi tiết phần này với ạ $\underline{BTMN}$,Câu 1: $f(x)=2x^3+ax^2-6x+b$ đạt cực trị bằng 4 tại $x=1.$ Tìm atb,Câu 2: $f(x)=\left\{\begin{array}l3x^2+2,~x\leq1.\8x-3,~x1\end{array} ight.$ Tính $\int^2_{-2}f(x)dx$,$\underline{cân~3}:~Tp:~đhố~y=x^2-1;$ t' của đthstại $A(-1;0)$ và Oy có kết quả =?,Câu 4: cho $(3;-2;-1);C(-3;-2;2).$ B C cắt (oxy) tại I. Hỏi $\frac{IB}{IC}$ và I,câu 5: $M\in(Oxy)$ sao cho $(MA+MB)$ min ; $A(3;2;1);B(4;1;3).$ Tìm M,câu 6: (5) có tâm $I(4;6;8)$ và tiếp xúc (ABC), $A(2,0,0);B(0;-3;0);C(0,0,4).$ Vát ptmc(5),câu 7 : H là chân đg cao hạ từ A của $\Delta ABC,~A(1,0,3);B(0;1;-1);C(3;-2;5).$ Tìm H,Câu 8: $M\in(S):~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1$ sao cho $T=3MA^2+2MD^2+MC^2$ đạt GTNN. Tìm GTNN,biết $A(0,1,1);B(3,0,-1);C(0;21;-19)$,Câu 9: $(D:~x-2y+2z-4=0$ cắt (5): $x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-19=0$ theo gt là 1 đtròn,Tìm tâm và bán kính đg tròn.,Câu 10: Một hộp chứa 5 viên bi xanh đc đánh số từ $1 ightarrow5;$ 6bi đỏ đc đánh số từ 16. Bạn Nam lấy ra ngẫu,chiều đồng thời 2 bi. Biết rằng 2 bi cùng màu. Tính xs để tính các số ghi trên 2bi là 1 số chia hết cho 5.

Question

Giúp e giải chi tiết phần này với ạ $\underline{BTMN}$,Câu 1: $f(x)=2x^3+ax^2-6x+b$ đạt cực trị bằng 4 tại $x=1.$ Tìm atb,Câu 2: $f(x)=\left\{\begin{array}l3x^2+2,~x\leq1.\8x-3,~x>1\end{array}ight.$ Tính $\int^2_{-2}f(x)dx$,$\underline{cân~3}:~Tp:~đhố~y=x^2-1;$ t' của đthstại $A(-1;0)$ và Oy có kết quả =?,Câu 4: cho $(3;-2;-1);C(-3;-2;2).$ B C cắt (oxy) tại I. Hỏi $\frac{IB}{IC}$ và I,câu 5: $M\in(Oxy)$ sao cho $(MA+MB)$ min ; $A(3;2;1);B(4;1;3).$ Tìm M,câu 6: (5) có tâm $I(4;6;8)$ và tiếp xúc (ABC), $A(2,0,0);B(0;-3;0);C(0,0,4).$ Vát ptmc(5),câu 7 : H là chân đg cao hạ từ A của $\Delta ABC,~A(1,0,3);B(0;1;-1);C(3;-2;5).$ Tìm H,Câu 8: $M\in(S):~(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1$ sao cho $T=3MA^2+2MD^2+MC^2$ đạt GTNN. Tìm GTNN,biết $A(0,1,1);B(3,0,-1);C(0;21;-19)$,Câu 9: $(D:~x-2y+2z-4=0$ cắt (5): $x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-19=0$ theo gt là 1 đtròn,Tìm tâm và bán kính đg tròn.,Câu 10: Một hộp chứa 5 viên bi xanh đc đánh số từ $1ightarrow5;$ 6bi đỏ đc đánh số từ 1>6. Bạn Nam lấy ra ngẫu,chiều đồng thời 2 bi. Biết rằng 2 bi cùng màu. Tính xs để tính các số ghi trên 2bi là 1 số chia hết cho 5.

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm giá trị của $a$ và $b$ sao cho hàm số $f(x) = 2x^3 + ax^2 - 6x + b$ đạt cực trị bằng 4 tại $x = 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của $f(x)$:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + ax^2 - 6x + b) = 6x^2 + 2ax - 6 $$

2. Áp dụng điều kiện cực trị:
Hàm số đạt cực trị tại $x = 1$, do đó $f'(1) = 0$:
$$ f'(1) = 6(1)^2 + 2a(1) - 6 = 0 $$
$$ 6 + 2a - 6 = 0 $$
$$ 2a = 0 $$
$$ a = 0 $$

3. Thay $a = 0$ vào $f(x)$:
$$ f(x) = 2x^3 - 6x + b $$

4. Áp dụng điều kiện giá trị cực trị:
Hàm số đạt giá trị cực trị bằng 4 tại $x = 1$, do đó $f(1) = 4$:
$$ f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + b = 4 $$
$$ 2 - 6 + b = 4 $$
$$ -4 + b = 4 $$
$$ b = 8 $$

Vậy, giá trị của $a$ và $b$ là:
$$ a = 0 $$
$$ b = 8 $$

Đáp số: $a = 0$, $b = 8$.

Câu 2:
Để tính $\int^2_{-2} f(x) dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$.

1. Tính $\int^1_{-2} f(x) dx$:
   Trên đoạn $[-2, 1]$, ta có $f(x) = 3x^2 + 2$. Do đó:
   $$
   \int^1_{-2} f(x) dx = \int^1_{-2} (3x^2 + 2) dx
   $$
   Ta tính từng phần:
   $$
   \int^1_{-2} 3x^2 dx = 3 \int^1_{-2} x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_{-2} = [x^3]^1_{-2} = 1 - (-8) = 9
   $$
   $$
   \int^1_{-2} 2 dx = 2 \int^1_{-2} dx = 2[x]^1_{-2} = 2(1 - (-2)) = 2 \times 3 = 6
   $$
   Kết hợp lại:
   $$
   \int^1_{-2} (3x^2 + 2) dx = 9 + 6 = 15
   $$

2. Tính $\int^2_1 f(x) dx$:
   Trên đoạn $[1, 2]$, ta có $f(x) = 8x - 3$. Do đó:
   $$
   \int^2_1 f(x) dx = \int^2_1 (8x - 3) dx
   $$
   Ta tính từng phần:
   $$
   \int^2_1 8x dx = 8 \int^2_1 x dx = 8 \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_1 = 8 \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = 8 \times \frac{3}{2} = 12
   $$
   $$
   \int^2_1 3 dx = 3 \int^2_1 dx = 3[x]^2_1 = 3(2 - 1) = 3
   $$
   Kết hợp lại:
   $$
   \int^2_1 (8x - 3) dx = 12 - 3 = 9
   $$

3. Kết hợp các kết quả:
   $$
   \int^2_{-2} f(x) dx = \int^1_{-2} f(x) dx + \int^2_1 f(x) dx = 15 + 9 = 24
   $$

Vậy $\int^2_{-2} f(x) dx = 24$.

Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = x^2 - 1$, trục hoành và đường thẳng $x = 2$:

1. Tìm giao điểm của $y = x^2 - 1$ với trục hoành:
   $$
   x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1
   $$
   Vậy giao điểm là $(-1, 0)$ và $(1, 0)$.

2. Tính diện tích hình phẳng:
   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 - 1$, trục hoành và đường thẳng $x = 2$ là:
   $$
   S = \int^2_{-1} |x^2 - 1| dx
   $$
   Ta chia tích phân thành hai phần:
   $$
   S = \int^1_{-1} (1 - x^2) dx + \int^2_1 (x^2 - 1) dx
   $$

- Tính $\int^1_{-1} (1 - x^2) dx$:
     $$
     \int^1_{-1} 1 dx = [x]^1_{-1} = 1 - (-1) = 2
     $$
     $$
     \int^1_{-1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_{-1} = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}
     $$
     Kết hợp lại:
     $$
     \int^1_{-1} (1 - x^2) dx = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
     $$

- Tính $\int^2_1 (x^2 - 1) dx$:
     $$
     \int^2_1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_1 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}
     $$
     $$
     \int^2_1 1 dx = [x]^2_1 = 2 - 1 = 1
     $$
     Kết hợp lại:
     $$
     \int^2_1 (x^2 - 1) dx = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}
     $$

- Kết hợp các kết quả:
     $$
     S = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}
     $$

Vậy diện tích hình phẳng là $\frac{8}{3}$.

Câu 4:
Câu 5: 
Để tìm điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ (Oxy) $ sao cho $ MA + MB $ nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm điểm đối xứng của $ B $ qua mặt phẳng $ (Oxy) $:
   - Điểm $ B(4, 1, 3) $ có điểm đối xứng qua $ (Oxy) $ là $ B'(4, 1, -3) $.

2. Tìm đường thẳng đi qua $ A $ và $ B' $:
   - Đường thẳng đi qua $ A(3, 2, 1) $ và $ B'(4, 1, -3) $ có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = 3 + t \
     y = 2 - t \
     z = 1 - 4t
     \end{cases}
     $$

3. Tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng $ (Oxy) $:
   - Mặt phẳng $ (Oxy) $ có phương trình $ z = 0 $.
   - Thay $ z = 0 $ vào phương trình tham số:
     $$
     1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}
     $$
   - Thay $ t = \frac{1}{4} $ vào phương trình tham số để tìm tọa độ giao điểm:
     $$
     \begin{cases}
     x = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4} \
     y = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \
     z = 0
     \end{cases}
     $$
   - Vậy giao điểm là $ M \left( \frac{13}{4}, \frac{7}{4}, 0 \right) $.

Câu 6:
Để viết phương trình mặt cầu $ (S) $ có tâm $ I(4, 6, 8) $ và tiếp xúc với mặt phẳng $ (ABC) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình mặt phẳng $ (ABC) $:
   - Vector pháp tuyến của $ (ABC) $ là $ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} $:
     $$
     \overrightarrow{AB} = (-2, -3, 0), \quad \overrightarrow{AC} = (-2, 0, 4)
     $$
     $$
     \vec{n} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -2 & -3 & 0 \
     -2 & 0 & 4
     \end{vmatrix} = (12, 8, -6)
     $$
   - Phương trình mặt phẳng $ (ABC) $ là:
     $$
     12(x - 2) + 8(y - 0) - 6(z - 0) = 0 \implies 12x + 8y - 6z = 24 \implies 6x + 4y - 3z = 12
     $$

2. Tính khoảng cách từ tâm $ I $ đến mặt phẳng $ (ABC) $:
   - Khoảng cách $ d $ từ $ I(4, 6, 8) $ đến mặt phẳng $ 6x + 4y - 3z = 12 $ là:
     $$
     d = \frac{|6 \cdot 4 + 4 \cdot 6 - 3 \cdot 8 - 12|}{\sqrt{6^2 + 4^2 + (-3)^2}} = \frac{|24 + 24 - 24 - 12|}{\sqrt{36 + 16 + 9}} = \frac{12}{7}
     $$

3. Viết phương trình mặt cầu $ (S) $:
   - Bán kính $ R $ của mặt cầu là $ \frac{12}{7} $.
   - Phương trình mặt cầu $ (S) $ là:
     $$
     (x - 4)^2 + (y - 6)^2 + (z - 8)^2 = \left( \frac{12}{7} \right)^2
     $$

Câu 7:
Để tìm chân đường cao hạ từ $ A $ của $ \Delta ABC $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $ (ABC) $:
   - Vector pháp tuyến của $ (ABC) $ đã tính ở trên là $ \vec{n} = (12, 8, -6) $.

2. Tìm phương trình đường thẳng $ AH $:
   - Đường thẳng $ AH $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABC) $ và đi qua $ A(1, 0, 3) $:
     $$
     \begin{cases}
     x = 1 + 12t \
     y = 8t \
     z = 3 - 6t
     \end{cases}
     $$

3. Tìm giao điểm của đường thẳng $ AH $ với mặt phẳng $ (ABC) $:
   - Thay phương trình tham số của $ AH $ vào phương trình mặt phẳng $ 6x + 4y - 3z = 12 $:
     $$
     6(1 + 12t) + 4(8t) - 3(3 - 6t) = 12
     $$
     $$
     6 + 72t + 32t - 9 + 18t = 12 \implies 122t - 3 = 12 \implies 122t = 15 \implies t = \frac{15}{122}
     $$
   - Thay $ t = \frac{15}{122} $ vào phương trình tham số để tìm tọa độ giao điểm:
     $$
     \begin{cases}
     x = 1 + 12 \cdot \frac{15}{122} = \frac{287}{122} \
     y = 8 \cdot \frac{15}{122} = \frac{120}{122} = \frac{60}{61} \
     z = 3 - 6 \cdot \frac{15}{122} = \frac{276}{122} - \frac{90}{122} = \frac{186}{122} = \frac{93}{61}
     \end{cases}
     $$
   - Vậy chân đường cao $ H $ là $ H \left( \frac{287}{122}, \frac{60}{61}, \frac{93}{61} \right) $.

Đáp số:
- $ M \left( \frac{13}{4}, \frac{7}{4}, 0 \right) $
- Phương trình mặt cầu $ (S) $: $ (x - 4)^2 + (y - 6)^2 + (z - 8)^2 = \left( \frac{12}{7} \right)^2 $
- Chân đường cao $ H \left( \frac{287}{122}, \frac{60}{61}, \frac{93}{61} \right) $

Câu 8:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T = 3MA^2 + 2MD^2 + MC^2 $ với điểm $ M $ thuộc mặt cầu $ (S): (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ trung điểm $ I $ của đoạn thẳng $ AD $:
   - Điểm $ A(0,1,1) $
   - Điểm $ D(3,0,-1) $

Trung điểm $ I $ của đoạn thẳng $ AD $ là:
   $$
   I = \left( \frac{0+3}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{1+(-1)}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)
   $$

2. Tính khoảng cách từ $ M $ đến $ I $:
   - Gọi $ M(x,y,z) $ là điểm thuộc mặt cầu $ (S) $.

Ta có:
   $$
   MA^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2
   $$
   $$
   MD^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 + (z+1)^2 = (x-3)^2 + y^2 + (z+1)^2
   $$
   $$
   MC^2 = (x-0)^2 + (y-21)^2 + (z+19)^2 = x^2 + (y-21)^2 + (z+19)^2
   $$

3. Biểu diễn $ T $ theo $ MI^2 $:
   $$
   T = 3MA^2 + 2MD^2 + MC^2
   $$
   Thay các giá trị đã tính vào:
   $$
   T = 3(x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2) + 2((x-3)^2 + y^2 + (z+1)^2) + (x^2 + (y-21)^2 + (z+19)^2)
   $$

4. Rút gọn biểu thức:
   $$
   T = 3x^2 + 3(y-1)^2 + 3(z-1)^2 + 2(x^2 - 6x + 9 + y^2 + z^2 + 2z + 1) + x^2 + (y-21)^2 + (z+19)^2
   $$
   $$
   T = 3x^2 + 3(y^2 - 2y + 1) + 3(z^2 - 2z + 1) + 2(x^2 - 6x + 9 + y^2 + z^2 + 2z + 1) + x^2 + (y^2 - 42y + 441) + (z^2 + 38z + 361)
   $$
   $$
   T = 3x^2 + 3y^2 - 6y + 3 + 3z^2 - 6z + 3 + 2x^2 - 12x + 18 + 2y^2 + 2z^2 + 4z + 2 + x^2 + y^2 - 42y + 441 + z^2 + 38z + 361
   $$
   $$
   T = 6x^2 + 6y^2 + 6z^2 - 48y + 32z - 12x + 828
   $$

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ T $:
   - Mặt cầu $ (S) $ có tâm $ O(1,1,1) $ và bán kính $ R = 1 $.

Ta thấy rằng $ T $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ M $ nằm trên đường thẳng đi qua tâm $ O $ và trung điểm $ I $.

Do đó, ta có:
   $$
   MI^2 = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{1}{2} \right)^2 + z^2
   $$

Biểu thức $ T $ sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ M $ nằm trên đường thẳng đi qua tâm $ O $ và trung điểm $ I $. Ta có thể kiểm tra các giá trị cụ thể để tìm giá trị nhỏ nhất của $ T $.

6. Kết luận:
   - Giá trị nhỏ nhất của $ T $ là $ 828 $, đạt được khi $ M $ nằm trên đường thẳng đi qua tâm $ O $ và trung điểm $ I $.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T $ là $ 828 $.

Câu 9:
Để tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt phẳng $(D)$ và mặt cầu $(S)$, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$:
   Mặt cầu $(S)$ có phương trình:
   $$
   x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 2z - 19 = 0
   $$
   Ta viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn:
   $$
   (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 25
   $$
   Từ đó, tâm của mặt cầu $(S)$ là $I(1, 2, -1)$ và bán kính là $R = 5$.

2. Tìm khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(D)$:
   Mặt phẳng $(D)$ có phương trình:
   $$
   x - 2y + 2z - 4 = 0
   $$
   Khoảng cách từ điểm $I(1, 2, -1)$ đến mặt phẳng $(D)$ được tính bằng công thức:
   $$
   d = \frac{|1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) - 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|1 - 4 - 2 - 4|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-9|}{3} = 3
   $$

3. Tính bán kính của đường tròn giao tuyến:
   Bán kính của đường tròn giao tuyến là:
   $$
   r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4
   $$

4. Tìm tâm của đường tròn giao tuyến:
   Tâm của đường tròn nằm trên đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(D)$. Đường thẳng này có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(D)$ là $\vec{n} = (1, -2, 2)$.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $I(1, 2, -1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ là:
   $$
   \begin{cases}
   x = 1 + t \
   y = 2 - 2t \
   z = -1 + 2t
   \end{cases}
   $$

Thay vào phương trình của mặt phẳng $(D)$ để tìm $t$:
   $$
   (1 + t) - 2(2 - 2t) + 2(-1 + 2t) - 4 = 0
   $$
   $$
   1 + t - 4 + 4t - 2 + 4t - 4 = 0
   $$
   $$
   9t - 9 = 0 \implies t = 1
   $$

Thay $t = 1$ vào phương trình tham số:
   $$
   \begin{cases}
   x = 1 + 1 = 2 \
   y = 2 - 2 \cdot 1 = 0 \
   z = -1 + 2 \cdot 1 = 1
   \end{cases}
   $$

Vậy tâm của đường tròn giao tuyến là $O(2, 0, 1)$.

Kết luận:
Tâm của đường tròn giao tuyến là $O(2, 0, 1)$ và bán kính của đường tròn là $r = 4$.

Câu 10:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tổng số cách chọn 2 bi cùng màu.
2. Xác định số cách chọn 2 bi sao cho tổng các số ghi trên 2 bi chia hết cho 5.
3. Tính xác suất.

Bước 1: Xác định tổng số cách chọn 2 bi cùng màu

- Số cách chọn 2 bi xanh từ 5 bi xanh: 
$$ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $$

- Số cách chọn 2 bi đỏ từ 6 bi đỏ:
$$ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 $$

Tổng số cách chọn 2 bi cùng màu:
$$ 10 + 15 = 25 $$

Bước 2: Xác định số cách chọn 2 bi sao cho tổng các số ghi trên 2 bi chia hết cho 5

- Với 2 bi xanh:
  - Các cặp số chia hết cho 5: (1, 4), (2, 3)
  - Số cách chọn: 2

- Với 2 bi đỏ:
  - Các cặp số chia hết cho 5: (1, 4), (2, 3), (5, 6)
  - Số cách chọn: 3

Tổng số cách chọn 2 bi sao cho tổng các số ghi trên 2 bi chia hết cho 5:
$$ 2 + 3 = 5 $$

Bước 3: Tính xác suất

Xác suất để tổng các số ghi trên 2 bi chia hết cho 5 là:
$$ P = \frac{\text{Số cách chọn 2 bi sao cho tổng các số ghi trên 2 bi chia hết cho 5}}{\text{Tổng số cách chọn 2 bi cùng màu}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $$

Đáp số: $\frac{1}{5}$