Vuuivvvvvv

Dethuong Phuong

Mời bạn tham khảo:

Gọi O là tâm Trái Đất, theo đề bài O là gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$.

Giả sử Trái Đất có dạng hình cầu bán kính $R = \sqrt{41} \cdot 10^6$ m.

Trong hệ trục tọa độ Oxyz (1 đơn vị = $10^6$ m), bán kính của mặt cầu Trái Đất là $R' = \frac{\sqrt{41} \cdot 10^6}{10^6} = \sqrt{41}$.

Gọi vị trí của bạn Minh Hiền là $M(x; y; z)$. Vì Minh Hiền đang đứng trên mặt đất nên M thuộc mặt cầu tâm O bán kính R'.

Phương trình mặt cầu Trái Đất là: $x^2 + y^2 + z^2 = (R')^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$. (1)

Tọa độ các vệ tinh trong hệ tọa độ Oxyz là $M_1(4; 4; 6)$, $M_2(8; 4; 3)$ và $M_3(4; 9; 3)$.

Khoảng cách từ Minh Hiền đến vệ tinh thứ nhất là $d_1 = 3 \cdot 10^6$ m. Trong hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách này là $d'_1 = \frac{3 \cdot 10^6}{10^6} = 3$.

Khoảng cách từ Minh Hiền đến vệ tinh thứ hai là $d_2 = 4 \cdot 10^6$ m. Trong hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách này là $d'_2 = \frac{4 \cdot 10^6}{10^6} = 4$.

Khoảng cách từ Minh Hiền đến vệ tinh thứ ba là $d_3 = 5 \cdot 10^6$ m. Trong hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách này là $d'_3 = \frac{5 \cdot 10^6}{10^6} = 5$.

Ta có các phương trình khoảng cách:

$MM_1^2 = (x-4)^2 + (y-4)^2 + (z-6)^2 = (d'_1)^2 = 3^2 = 9$

$\Rightarrow x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 12z + 36 = 9$

$\Rightarrow (x^2 + y^2 + z^2) - 8x - 8y - 12z + 68 = 9$

Thay (1) vào: $41 - 8x - 8y - 12z + 68 = 9$

$\Rightarrow -8x - 8y - 12z = 9 - 41 - 68 = -100$

Chia cả hai vế cho -4: $2x + 2y + 3z = 25$. (2)

$MM_2^2 = (x-8)^2 + (y-4)^2 + (z-3)^2 = (d'_2)^2 = 4^2 = 16$

$\Rightarrow x^2 - 16x + 64 + y^2 - 8y + 16 + z^2 - 6z + 9 = 16$

$\Rightarrow (x^2 + y^2 + z^2) - 16x - 8y - 6z + 89 = 16$

Thay (1) vào: $41 - 16x - 8y - 6z + 89 = 16$

$\Rightarrow -16x - 8y - 6z = 16 - 41 - 89 = -114$

Chia cả hai vế cho -2: $8x + 4y + 3z = 57$. (3)

$MM_3^2 = (x-4)^2 + (y-9)^2 + (z-3)^2 = (d'_3)^2 = 5^2 = 25$

$\Rightarrow x^2 - 8x + 16 + y^2 - 18y + 81 + z^2 - 6z + 9 = 25$

$\Rightarrow (x^2 + y^2 + z^2) - 8x - 18y - 6z + 106 = 25$

Thay (1) vào: $41 - 8x - 18y - 6z + 106 = 25$

$\Rightarrow -8x - 18y - 6z = 25 - 41 - 106 = -122$

Chia cả hai vế cho -2: $4x + 9y + 3z = 61$. (4)

Ta có hệ phương trình gồm (2), (3), (4) để tìm $x, y, z$:

$\begin{cases} 2x + 2y + 3z = 25 \\ 8x + 4y + 3z = 57 \\ 4x + 9y + 3z = 61 \end{cases}$

Lấy (3) trừ (2): $(8x + 4y + 3z) - (2x + 2y + 3z) = 57 - 25 \Rightarrow 6x + 2y = 32 \Rightarrow 3x + y = 16 \Rightarrow y = 16 - 3x$. (5)

Lấy (4) trừ (3): $(4x + 9y + 3z) - (8x + 4y + 3z) = 61 - 57 \Rightarrow -4x + 5y = 4$. (6)

Thay (5) vào (6): $-4x + 5(16 - 3x) = 4 \Rightarrow -4x + 80 - 15x = 4 \Rightarrow -19x = -76 \Rightarrow x = 4$.

Thay $x = 4$ vào (5): $y = 16 - 3(4) = 16 - 12 = 4$.

Thay $x = 4, y = 4$ vào (2): $2(4) + 2(4) + 3z = 25 \Rightarrow 8 + 8 + 3z = 25 \Rightarrow 16 + 3z = 25 \Rightarrow 3z = 9 \Rightarrow z = 3$.

Vậy tọa độ của Minh Hiền là $M(4; 4; 3)$.

Kiểm tra lại với phương trình (1): $4^2 + 4^2 + 3^2 = 16 + 16 + 9 = 41$, thỏa mãn.

Tính giá trị biểu thức $T = 2x + 3y - 4z$:

$T = 2(4) + 3(4) - 4(3) = 8 + 12 - 12 = 8$.

Vậy giá trị của biểu thức $T$ là 8.