giúp mình với Câu 3,Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai,mặt phẳng $(\alpha):~x-2y+z-1=0,$,$(\beta);2x+y-z=0$ và điểm $A(1;2;-1).$,Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A và song song với cả,hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ có phương trình là,Chọn một đáp án đúng,A $\frac{x-1}1=\frac{y-2}2=\frac{z-1}1.$,$B)~\frac{x-1}1=\frac{y-2}3=\frac{z-1}5.$,$c)~\frac{x-1}1=\frac{y-2}2=\frac{z+1}1.$,D $\frac{x-1}1=\frac{y-2}3=\frac{z+1}5.$

Question

Accepted Answer

Để tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$ và song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(\alpha): x - 2y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (1, -2, 1)$.
   - Mặt phẳng $(\beta): 2x + y - z = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (2, 1, -1)$.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   - Đường thẳng $\Delta$ song song với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, do đó vectơ chỉ phương của $\Delta$ sẽ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$. Ta tính tích có hướng của hai vectơ này:
     $$
     \vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = 
     \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     1 & -2 & 1 \
     2 & 1 & -1
     \end{vmatrix}
     = \vec{i}((-2)(-1) - (1)(1)) - \vec{j}((1)(-1) - (1)(2)) + \vec{k}((1)(1) - (-2)(2))
     = \vec{i}(2 - 1) - \vec{j}(-1 - 2) + \vec{k}(1 + 4)
     = \vec{i}(1) - \vec{j}(-3) + \vec{k}(5)
     = (1, 3, 5)
     $$

3. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$:
   - Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 2, -1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d} = (1, 3, 5)$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là:
     $$
     \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{5}
     $$

Vậy đáp án đúng là:
D $\frac{x-1}1=\frac{y-2}3=\frac{z+1}5.$