Giúp mình vs ạ III. Trả lời ngắn,Câu 24. Gọi (H) là phần hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=3x^2,~y=4-x$ và trục hoành.,Diện tích của (H) là bằng bao nhiêu? ( làm tròn 2 chữ số thập phân),Câu 25. Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm $M(2;-4;-1)$ tới đường thẳng $\Delta:\frac{x-2}3=\frac y{-2}=\frac{z+1}4.$,làm tròn 2 chữ số thập phân),Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~3x-2y+2z+7=0,~(\beta):~5x-4y+3z+1=0.$ Tính,cosin góc giữa hai mặt phẳng trên. ( làm tròn 2 chữ số thập phân),Câu 27. Phương trình mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z-6=0$ có tâm $I(a;b;c).$ Tính $a+c$,Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~(x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=25.$ Mặt phẳng (Oxy) cắt,mặt cầu (S) có giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?,Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm $A(1;-2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):~x+y+z+1=0.$,$(Q):~x-y+z-2=0.$ Gọi (d) Đường thẳng đi qua A song ssong vii(P) và (Q). Đờờn tthẳgg d,đi qua điểm $B(a;-2;-2021).$ Giá trị của a bằng bao nhiêu.,Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0).$ mỗi,đơn vị trên trục ứng với 1km . Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiể hị rên,màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8).$ chuyển động theo theo đường thẳng d,có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Hãy xác định tọa độ vị trí,sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.,

Question

Giúp mình vs ạ III. Trả lời ngắn,Câu 24. Gọi (H) là phần hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=3x^2,~y=4-x$ và trục hoành.,Diện tích của (H) là bằng bao nhiêu? ( làm tròn 2 chữ số thập phân),Câu 25. Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ điểm $M(2;-4;-1)$ tới đường thẳng $\Delta:\frac{x-2}3=\frac y{-2}=\frac{z+1}4.$,làm tròn 2 chữ số thập phân),Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng $(\alpha):~3x-2y+2z+7=0,~(\beta):~5x-4y+3z+1=0.$ Tính,cosin góc giữa hai mặt phẳng trên. ( làm tròn 2 chữ số thập phân),Câu 27. Phương trình mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z-6=0$ có tâm $I(a;b;c).$ Tính $a+c$,Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~(x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=25.$ Mặt phẳng (Oxy) cắt,mặt cầu (S) có giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?,Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm $A(1;-2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):~x+y+z+1=0.$,$(Q):~x-y+z-2=0.$ Gọi (d) Đường thẳng đi qua A  song ssong vii(P) và (Q).  Đờờn tthẳgg d,đi qua điểm $B(a;-2;-2021).$ Giá trị của a bằng bao nhiêu.,Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0).$ mỗi,đơn vị trên trục ứng với 1km . Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiể  hị  rên,màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8).$ chuyển động theo theo đường thẳng d,có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Hãy xác định tọa độ vị trí,sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/4b9688be25534adbba9836e0b6df22e1.jpg />

Accepted Answer

Câu 24.
Để tính diện tích của phần hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $ y = 3x^2 $, $ y = 4 - x $ và trục hoành, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm của các hàm số

Giao điểm của $ y = 3x^2 $ và $ y = 4 - x $:
$$ 3x^2 = 4 - x $$
$$ 3x^2 + x - 4 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6} = \frac{-1 \pm 7}{6} $$
$$ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{4}{3} $$

Giao điểm của $ y = 3x^2 $ và trục hoành:
$$ 3x^2 = 0 $$
$$ x = 0 $$

Giao điểm của $ y = 4 - x $ và trục hoành:
$$ 4 - x = 0 $$
$$ x = 4 $$

Bước 2: Xác định khoảng tích phân

Phần hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đoạn từ $ x = -\frac{4}{3} $ đến $ x = 0 $ và từ $ x = 0 $ đến $ x = 1 $.

Bước 3: Tính diện tích

Diện tích của phần hình phẳng (H) là tổng diện tích của hai miền giới hạn bởi các hàm số $ y = 3x^2 $ và $ y = 4 - x $:

$$ S = \int_{-\frac{4}{3}}^{0} (4 - x) \, dx + \int_{0}^{1} (4 - x - 3x^2) \, dx $$

Tính từng tích phân:

$$ \int_{-\frac{4}{3}}^{0} (4 - x) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{-\frac{4}{3}}^{0} = 0 - \left( 4 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) - \frac{\left(-\frac{4}{3}\right)^2}{2} \right) $$
$$ = 0 - \left( -\frac{16}{3} - \frac{8}{9} \right) = \frac{16}{3} + \frac{8}{9} = \frac{48}{9} + \frac{8}{9} = \frac{56}{9} $$

$$ \int_{0}^{1} (4 - x - 3x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} - x^3 \right]_{0}^{1} = \left( 4 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - 1^3 \right) - 0 $$
$$ = 4 - \frac{1}{2} - 1 = 4 - 0.5 - 1 = 2.5 $$

Bước 4: Tổng diện tích

$$ S = \frac{56}{9} + 2.5 = \frac{56}{9} + \frac{22.5}{9} = \frac{78.5}{9} \approx 8.72 $$

Vậy diện tích của phần hình phẳng (H) là khoảng 8.72 (đơn vị diện tích).

Câu 25.
Để tính khoảng cách từ điểm $ M(2; -4; -1) $ đến đường thẳng $ \Delta: \frac{x-2}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{4} $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x-2}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z+1}{4}
   $$
   Từ đây, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   \vec{d} = (3, -2, 4)
   $$

2. Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng $\Delta$:
   Ta chọn điểm $ A(2, 0, -1) $ nằm trên đường thẳng $\Delta$.

3. Tìm vectơ $\overrightarrow{AM}$:
   Tọa độ của điểm $ M $ là $ (2, -4, -1) $. Tọa độ của điểm $ A $ là $ (2, 0, -1) $. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AM}$ là:
   $$
   \overrightarrow{AM} = (2 - 2, -4 - 0, -1 + 1) = (0, -4, 0)
   $$

4. Tính khoảng cách từ điểm $ M $ đến đường thẳng $\Delta$:
   Khoảng cách từ điểm $ M $ đến đường thẳng $\Delta$ được tính bằng công thức:
   $$
   d(M, \Delta) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \times \vec{d}\|}{\|\vec{d}\|}
   $$
   Trong đó, $\overrightarrow{AM} \times \vec{d}$ là tích vector của hai vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\vec{d}$.

Tính tích vector $\overrightarrow{AM} \times \vec{d}$:
   $$
   \overrightarrow{AM} \times \vec{d} = 
   \begin{vmatrix}
   \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
   0 & -4 & 0 \
   3 & -2 & 4
   \end{vmatrix}
   = \vec{i}((-4) \cdot 4 - 0 \cdot (-2)) - \vec{j}(0 \cdot 4 - 0 \cdot 3) + \vec{k}(0 \cdot (-2) - (-4) \cdot 3)
   = \vec{i}(-16) - \vec{j}(0) + \vec{k}(12)
   = (-16, 0, 12)
   $$

Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AM} \times \vec{d}$:
   $$
   \|\overrightarrow{AM} \times \vec{d}\| = \sqrt{(-16)^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{d}$:
   $$
   \|\vec{d}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}
   $$

Cuối cùng, khoảng cách từ điểm $ M $ đến đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   d(M, \Delta) = \frac{20}{\sqrt{29}} \approx 3.71
   $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ M(2; -4; -1) $ đến đường thẳng $\Delta$ là khoảng 3.71 (đã làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Câu 26.
Để tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (3, -2, 2)$.
   - Mặt phẳng $(\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (5, -4, 3)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
   $$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3 \times 5 + (-2) \times (-4) + 2 \times 3 = 15 + 8 + 6 = 29 $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
   $$ |\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} $$
   $$ |\vec{n}_2| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$

4. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng:
   $$ \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{29}{\sqrt{17} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{29}{5\sqrt{34}} $$

5. Làm tròn kết quả đến 2 chữ số thập phân:
   $$ \cos \theta \approx \frac{29}{5 \times 5.83} \approx \frac{29}{29.15} \approx 0.99 $$

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ là khoảng 0.99.

Câu 27.
Để tìm tâm $ I(a; b; c) $ của mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 2z - 6 = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương:
   Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ lại:
   $$
   x^2 - 2x + y^2 + 2y + z^2 - 2z = 6
   $$

2. Hoàn thành bình phương cho mỗi biến:
   - Với $x$:
     $$
     x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
     $$
   - Với $y$:
     $$
     y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1
     $$
   - Với $z$:
     $$
     z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1
     $$

3. Thay vào phương trình ban đầu:
   $$
   (x - 1)^2 - 1 + (y + 1)^2 - 1 + (z - 1)^2 - 1 = 6
   $$

4. Rút gọn phương trình:
   $$
   (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 - 3 = 6
   $$
   $$
   (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 9
   $$

5. So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu:
   Phương trình chuẩn của mặt cầu có dạng:
   $$
   (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
   $$
   Từ đó, ta nhận thấy rằng tâm $I(a; b; c)$ của mặt cầu là $I(1; -1; 1)$.

6. Tính $a + c$:
   $$
   a + c = 1 + 1 = 2
   $$

Vậy, $a + c = 2$.

Câu 28.
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là $ z = 0 $. Ta thay $ z = 0 $ vào phương trình của mặt cầu để tìm giao tuyến:
$$
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + (0 - 4)^2 = 25
$$
$$
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 + 16 = 25
$$
$$
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9
$$

Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm $ (2, -3) $ và bán kính $ r = 3 $.

Vậy, bán kính của đường tròn giao tuyến là $ 3 $.

Đáp số: Bán kính của đường tròn giao tuyến là $ 3 $.

Câu 29.
Để tìm giá trị của $a$ sao cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1; -2; 3)$ và song song với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(P): x + y + z + 1 = 0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$.
   - Mặt phẳng $(Q): x - y + z - 2 = 0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}_2 = (1, -1, 1)$.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$:
   - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ sẽ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$. Ta tính tích vector của $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$:
     $$
     \vec{u} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = 
     \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     1 & 1 & 1 \
     1 & -1 & 1
     \end{vmatrix}
     = \vec{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)
     = \vec{i}(1 + 1) - \vec{j}(1 - 1) + \vec{k}(-1 - 1)
     = 2\vec{i} + 0\vec{j} - 2\vec{k}
     = (2, 0, -2)
     $$

3. Phương trình tham số của đường thẳng $d$:
   - Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1, -2, 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2, 0, -2)$. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     x = 1 + 2t \
     y = -2 \
     z = 3 - 2t
     \end{array}
     \right.
     $$

4. Kiểm tra điểm $B(a, -2, -2021)$ nằm trên đường thẳng $d$:
   - Thay tọa độ của điểm $B$ vào phương trình tham số của đường thẳng $d$:
     $$
     \left\{
     \begin{array}{l}
     a = 1 + 2t \
     -2 = -2 \
     -2021 = 3 - 2t
     \end{array}
     \right.
     $$
   - Từ phương trình thứ ba, ta giải ra $t$:
     $$
     -2021 = 3 - 2t \implies -2024 = -2t \implies t = 1012
     $$
   - Thay $t = 1012$ vào phương trình đầu tiên để tìm $a$:
     $$
     a = 1 + 2 \cdot 1012 = 1 + 2024 = 2025
     $$

Vậy giá trị của $a$ là $2025$.

Câu 30.
Đầu tiên, ta cần xác định phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(-688; -185; 8)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (91; 75; 0)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:
$$
\begin{cases}
x = -688 + 91t \
y = -185 + 75t \
z = 8
\end{cases}
$$

Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu $O(0;0;0)$ là 417 km. Ta cần tìm tọa độ của điểm $B(x, y, z)$ trên đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $O$ là 417 km.

Khoảng cách từ điểm $B(x, y, z)$ đến điểm $O(0,0,0)$ là:
$$
OB = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
$$

Thay $x$, $y$, và $z$ vào phương trình tham số:
$$
OB = \sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2}
$$

Ta có:
$$
\sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64} = 417
$$

Bình phương cả hai vế:
$$
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 417^2
$$
$$
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 173889
$$
$$
(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 = 173825
$$

Mở rộng các bình phương:
$$
(688 - 91t)^2 + (185 - 75t)^2 = 173825
$$
$$
473344 - 2 \cdot 688 \cdot 91t + 8281t^2 + 34225 - 2 \cdot 185 \cdot 75t + 5625t^2 = 173825
$$
$$
473344 - 125344t + 8281t^2 + 34225 - 27750t + 5625t^2 = 173825
$$
$$
13907t^2 - 153094t + 507569 = 173825
$$
$$
13907t^2 - 153094t + 333744 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai này:
$$
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
$$
t = \frac{153094 \pm \sqrt{153094^2 - 4 \cdot 13907 \cdot 333744}}{2 \cdot 13907}
$$
$$
t = \frac{153094 \pm \sqrt{23436908356 - 18446744064}}{27814}
$$
$$
t = \frac{153094 \pm \sqrt{5000164292}}{27814}
$$
$$
t = \frac{153094 \pm 70712}{27814}
$$

Có hai nghiệm:
$$
t_1 = \frac{153094 + 70712}{27814} \approx 8.08
$$
$$
t_2 = \frac{153094 - 70712}{27814} \approx 3.00
$$

Chọn $t_2 = 3$ vì máy bay chuyển động về phía đài kiểm soát không lưu.

Thay $t = 3$ vào phương trình tham số:
$$
x = -688 + 91 \cdot 3 = -688 + 273 = -415
$$
$$
y = -185 + 75 \cdot 3 = -185 + 225 = 40
$$
$$
z = 8
$$

Vậy tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là:
$$
(-415; 40; 8)
$$