Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x(1 + x + x²) = 4y(y - 1)

Để tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình x(1 + x + x²) = 4y(y - 1), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét phương trình x(1 + x + x²) = 4y(y - 1). Bước 2: Ta thấy rằng vế trái của phương trình là một đa thức bậc ba, còn vế phải là một đa thức bậc hai nhân với 4. Để tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình này, chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên của x và y. Bước 3: Thử các giá trị nguyên của x và y. - Nếu x = 0, ta có 0(1 + 0 + 0²) = 4y(y - 1) suy ra 0 = 4y(y - 1). Điều này đúng khi y = 0 hoặc y = 1. Vậy ta có các cặp số nguyên (0; 0) và (0; 1). - Nếu x = 1, ta có 1(1 + 1 + 1²) = 4y(y - 1) suy ra 3 = 4y(y - 1). Điều này không có nghiệm nguyên y. - Nếu x = -1, ta có (-1)(1 + (-1) + (-1)²) = 4y(y - 1) suy ra 0 = 4y(y - 1). Điều này đúng khi y = 0 hoặc y = 1. Vậy ta có các cặp số nguyên (-1; 0) và (-1; 1). - Nếu x = 2, ta có 2(1 + 2 + 2²) = 4y(y - 1) suy ra 14 = 4y(y - 1). Điều này không có nghiệm nguyên y. - Nếu x = -2, ta có (-2)(1 + (-2) + (-2)²) = 4y(y - 1) suy ra -10 = 4y(y - 1). Điều này không có nghiệm nguyên y. - Nếu x = 3, ta có 3(1 + 3 + 3²) = 4y(y - 1) suy ra 39 = 4y(y - 1). Điều này không có nghiệm nguyên y. - Nếu x = -3, ta có (-3)(1 + (-3) + (-3)²) = 4y(y - 1) suy ra -27 = 4y(y - 1). Điều này không có nghiệm nguyên y. Bước 4: Kết luận Qua các trường hợp trên, ta thấy rằng các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình x(1 + x + x²) = 4y(y - 1) là (0; 0), (0; 1), (-1; 0) và (-1; 1). Đáp số: (0; 0), (0; 1), (-1; 0), (-1; 1).