Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... 18. Cho $0\leq x,y\leq1.$ Chứng minh rằng,$a)~(1+x)^2\geq4x^2;$,$b)~(1+x+y)^2\geq4(x^2+y^2).$,Hướng dẫn. Chú ý rằng $(1+a)^2\geq4a$ và $b\geq b^2$ với $0\leq b\leq1.$,19. Cho $0\leq a,b,c,d\leq1.$ Chứng minh rằng,$a+b+c+d+4(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\leq4.$,Hướng dẫn. Đặt $x=(1-a),y=(1-b),z=(1-c),t=(1-d)$,20. Cho $0\leq a,b,c\leq1.$ Chứng minh,$3+a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq2(a^3+b^3+c^3).$,Hướng dẫn. Xét tích $(a^3-1)(b^2-1)\geq0$ và chú $ý~b^3\leq b^2.$,21. Cho $-2\leq a,b,c\leq5$ thỏa mãn $a+2b+3c\leq2.$ Chứng minh $a^2+2b^2+3c^2\leq66.$,Hướng dẫn. Xét tích dạng $(a+2)(a-5)\leq0.$

Question

Accepted Answer

18. Cho $0\leq x,y\leq1.$ Chứng minh rằng
a) $(1+x)^2\geq4x^2$
b) $(1+x+y)^2\geq4(x^2+y^2)$

a) Ta có:
$(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$
Ta cần chứng minh:
$1 + 2x + x^2 \geq 4x^2$
$\Leftrightarrow 1 + 2x + x^2 - 4x^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow 1 + 2x - 3x^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow 3x^2 - 2x - 1 \leq 0$
$\Leftrightarrow (3x + 1)(x - 1) \leq 0$
Vì $0 \leq x \leq 1$, nên $3x + 1 > 0$ và $x - 1 \leq 0$. Do đó, $(3x + 1)(x - 1) \leq 0$ luôn đúng.

b) Ta có:
$(1 + x + y)^2 = 1 + 2x + 2y + x^2 + 2xy + y^2$
Ta cần chứng minh:
$1 + 2x + 2y + x^2 + 2xy + y^2 \geq 4(x^2 + y^2)$
$\Leftrightarrow 1 + 2x + 2y + x^2 + 2xy + y^2 - 4x^2 - 4y^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow 1 + 2x + 2y - 3x^2 - 3y^2 + 2xy \geq 0$
$\Leftrightarrow 3x^2 + 3y^2 - 2x - 2y - 2xy - 1 \leq 0$
$\Leftrightarrow 3(x^2 + y^2) - 2(x + y) - 2xy - 1 \leq 0$
Vì $0 \leq x, y \leq 1$, nên $x^2 + y^2 \leq 1$, $x + y \leq 2$, và $xy \leq 1$. Do đó, $3(x^2 + y^2) - 2(x + y) - 2xy - 1 \leq 0$ luôn đúng.

19. Cho $0 \leq a, b, c, d \leq 1$. Chứng minh rằng:
$a + b + c + d + 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) \leq 4$

Đặt $x = (1 - a)$, $y = (1 - b)$, $z = (1 - c)$, $t = (1 - d)$. Ta có $0 \leq x, y, z, t \leq 1$.
Biểu thức cần chứng minh trở thành:
$(1 - x) + (1 - y) + (1 - z) + (1 - t) + 4xyzt \leq 4$
$\Leftrightarrow 4 - (x + y + z + t) + 4xyzt \leq 4$
$\Leftrightarrow -(x + y + z + t) + 4xyzt \leq 0$
$\Leftrightarrow x + y + z + t \geq 4xyzt$
Vì $0 \leq x, y, z, t \leq 1$, nên $xyzt \leq 1$. Do đó, $x + y + z + t \geq 4xyzt$ luôn đúng.

20. Cho $0 \leq a, b, c \leq 1$. Chứng minh:
$3 + a^3b^2 + b^3c^2 + c^3a^2 \geq 2(a^3 + b^3 + c^3)$

Ta có:
$a^3b^2 \geq a^3b^3$ (vì $b^2 \leq b^3$)
$b^3c^2 \geq b^3c^3$ (vì $c^2 \leq c^3$)
$c^3a^2 \geq c^3a^3$ (vì $a^2 \leq a^3$)
Do đó:
$a^3b^2 + b^3c^2 + c^3a^2 \geq a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3$
Ta cần chứng minh:
$3 + a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 \geq 2(a^3 + b^3 + c^3)$
$\Leftrightarrow 3 + a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 - 2a^3 - 2b^3 - 2c^3 \geq 0$
$\Leftrightarrow 3 - a^3 - b^3 - c^3 + a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 \geq 0$
$\Leftrightarrow 3 - (a^3 + b^3 + c^3) + (a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3) \geq 0$
Vì $0 \leq a, b, c \leq 1$, nên $a^3 + b^3 + c^3 \leq 3$ và $a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3 \leq 3$. Do đó, $3 - (a^3 + b^3 + c^3) + (a^3b^3 + b^3c^3 + c^3a^3) \geq 0$ luôn đúng.

21. Cho $-2 \leq a, b, c \leq 5$ thỏa mãn $a + 2b + 3c \leq 2$. Chứng minh $a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 66$.

Ta có:
$(a + 2)(a - 5) \leq 0$
$\Leftrightarrow a^2 - 3a - 10 \leq 0$
$\Leftrightarrow a^2 \leq 3a + 10$
Tương tự:
$(b + 2)(b - 5) \leq 0$
$\Leftrightarrow b^2 - 3b - 10 \leq 0$
$\Leftrightarrow b^2 \leq 3b + 10$
$(c + 2)(c - 5) \leq 0$
$\Leftrightarrow c^2 - 3c - 10 \leq 0$
$\Leftrightarrow c^2 \leq 3c + 10$
Do đó:
$a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 3a + 10 + 2(3b + 10) + 3(3c + 10)$
$\Leftrightarrow a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 3a + 6b + 9c + 60$
$\Leftrightarrow a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 3(a + 2b + 3c) + 60$
Vì $a + 2b + 3c \leq 2$, nên:
$a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 3 \cdot 2 + 60$
$\Leftrightarrow a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 66$
Vậy $a^2 + 2b^2 + 3c^2 \leq 66$.