Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $16.~y=( an x+\cot x)x^2$

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... $16.~y=(	an x+\cot x)x^2$

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Biểu thức $	an x$ xác định khi $x 
eq \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.
   - Biểu thức $\cot x$ xác định khi $x 
eq k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.
   - Kết hợp hai điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là $x 
eq \frac{\pi}{2} + k\pi$ và $x 
eq k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

2. Biến đổi biểu thức:
   - Ta có $	an x = \frac{\sin x}{\cos x}$ và $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
   - Do đó, $	an x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.
   - Vậy $y = (	an x + \cot x)x^2 = \frac{x^2}{\sin x \cos x}$.

3. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN):
   - Để tìm GTLN và GTNN của $y = \frac{x^2}{\sin x \cos x}$, ta cần xem xét các giới hạn và tính chất của hàm số.
   - Biểu thức $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$, do đó $y = \frac{2x^2}{\sin 2x}$.
   - Hàm số $\sin 2x$ có giá trị từ -1 đến 1, nhưng vì $\sin 2x$ xuất hiện ở mẫu, ta chỉ quan tâm đến khoảng $(0, 1]$.
   - Khi $\sin 2x$ tiến gần đến 0 (nhưng không bằng 0), giá trị của $y$ sẽ tăng không giới hạn.
   - Khi $\sin 2x = 1$, giá trị của $y$ sẽ là $\frac{2x^2}{1} = 2x^2$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $y$ không bị giới hạn và giá trị nhỏ nhất của $y$ phụ thuộc vào giá trị của $x$. Tuy nhiên, trong phạm vi lớp 11, chúng ta thường không xem xét các trường hợp giới hạn như vậy.

Kết luận:
- Giá trị lớn nhất của $y$ không bị giới hạn.
- Giá trị nhỏ nhất của $y$ phụ thuộc vào giá trị của $x$ và không thể xác định cụ thể trong phạm vi này.

Đáp số: Giá trị lớn nhất của $y$ không bị giới hạn.