giúp mình với Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có đỉnh $A(1;5)$ và phương,thẳng BD là $x-3y+4=0.$ Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương.,$A.~(2;2)$ $B.~(5;3)$ $C.~(3;-1)$ $D.~(8;4)$

Question

Accepted Answer

Câu 13.
Để tìm tọa độ đỉnh B của hình vuông ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình đường thẳng AB:

   Vì B nằm trên đường thẳng $x - 3y + 4 = 0$, ta có thể viết tọa độ của B dưới dạng $B(x_B, y_B)$. Thay vào phương trình đường thẳng ta có:
   $$ x_B - 3y_B + 4 = 0 \quad \text{(1)} $$

2. Tìm phương trình đường thẳng AC:

   Đường thẳng AC vuông góc với BD, nên hệ số góc của AC sẽ là $-3$ (vì hệ số góc của BD là $\frac{1}{3}$). Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1, 5) sẽ có dạng:
   $$ y - 5 = -3(x - 1) $$
   $$ y = -3x + 8 \quad \text{(2)} $$

3. Tìm tọa độ giao điểm của AC và BD:

   Gọi giao điểm của AC và BD là O. Ta giải hệ phương trình:
   $$ 
   \begin{cases} 
   x - 3y + 4 = 0 \ 
   y = -3x + 8 
   \end{cases}
   $$

   Thay $y = -3x + 8$ vào phương trình $x - 3y + 4 = 0$:
   $$ x - 3(-3x + 8) + 4 = 0 $$
   $$ x + 9x - 24 + 4 = 0 $$
   $$ 10x - 20 = 0 $$
   $$ x = 2 $$

   Thay $x = 2$ vào $y = -3x + 8$:
   $$ y = -3(2) + 8 = 2 $$

   Vậy giao điểm O có tọa độ $O(2, 2)$.

4. Tìm tọa độ đỉnh B:

   Vì O là tâm của hình vuông ABCD, nên O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta có:
   $$ 
   \begin{cases} 
   x_O = \frac{x_A + x_B}{2} \ 
   y_O = \frac{y_A + y_B}{2} 
   \end{cases}
   $$

   Thay $O(2, 2)$, $A(1, 5)$ vào:
   $$ 
   \begin{cases} 
   2 = \frac{1 + x_B}{2} \ 
   2 = \frac{5 + y_B}{2} 
   \end{cases}
   $$

   Giải các phương trình này:
   $$ 
   \begin{cases} 
   4 = 1 + x_B \Rightarrow x_B = 3 \ 
   4 = 5 + y_B \Rightarrow y_B = -1 
   \end{cases}
   $$

   Vậy tọa độ đỉnh B là $B(3, -1)$.

Do đó, đáp án đúng là: C. $ (3, -1) $.