Ai làm hộ với ạ Bài 6. (2,0 điểm),Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn (O). Từ P kẻ hai tiếp tuyến PM, PN với,đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Kẻ đường kính ME của đường tròn (O) ; PE cắt đường tròn ()),tại I (I khác E).,a) Chứng minh PMON là tứ giác nội tiếp và $PM^2=PI.PE.$,b) Gọi K là giao điểm của PO và MN. Tia IK cắt đường tròn (O) tại D (D khác I ). Chứng minh,$\Delta PIK\backsim\Delta POE$ và ba điểm N, O, D thẳng hàng.,c) Đoạn thẳng PO cắt đường tròn (O) tại Q. Chứng minh $PQ.IK=PI.QK$

Question

Accepted Answer

{"userId":5278301,"userName":"Dung Pham"}

Mời bạn tham khảo:

Bài 6:

a) Chứng minh $PMON$ là tứ giác nội tiếp và $PM^2 = PI.PE$

* $PMON$ là tứ giác nội tiếp:

* Ta có $PM$ và $PN$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ và $N$ nên $\widehat{PMO} = \widehat{PNO} = 90^{\circ}$

* Xét tứ giác $PMON$ có $\widehat{PMO} + \widehat{PNO} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

* Suy ra tứ giác $PMON$ nội tiếp đường tròn.

* $PM^2 = PI.PE$:

* Xét $ riangle PMI$ và $ riangle PEM$ có:

* $\widehat{MPE}$ chung

* $\widehat{PMI} = \widehat{PEM}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $MI$)

* Suy ra $ riangle PMI \sim riangle PEM$ (g.g)

* $\Rightarrow \dfrac{PM}{PE} = \dfrac{PI}{PM} \Rightarrow PM^2 = PI.PE$

b) Chứng minh $ riangle PIK \sim riangle POE$ và ba điểm $N, O, D$ thẳng hàng

* Chứng minh $ riangle PIK \sim riangle POE$:

* Ta có $PMON$ là tứ giác nội tiếp (cmt)

* Suy ra $PO \perp MN$ tại $K$

* Xét $ riangle PKO$ vuông tại $K$ có $OK^2 + PK^2 = PO^2$.

* Ta có $\widehat{PIE} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $ME$).

* Xét $ riangle PIK$ và $ riangle POE$:

* $\widehat{P}$ chung

* $\widehat{PKI} = \widehat{PEO}$ (cùng phụ với $\widehat{EPN}$)

* Suy ra $ riangle PIK \sim riangle POE$ (g.g)

* Chứng minh $N, O, D$ thẳng hàng:

* Ta có $ riangle PIK \sim riangle POE$ (cmt)

* $\Rightarrow \dfrac{PI}{PO} = \dfrac{PK}{PE} \Rightarrow PI.PE = PK.PO$

* Mà $PM^2 = PI.PE$ (cmt)

* $\Rightarrow PM^2 = PK.PO$

* Xét $ riangle PMK$ và $ riangle POM$:

* $\widehat{OPM}$ chung

* $\dfrac{PM}{PO} = \dfrac{PK}{PM}$

* $\Rightarrow riangle PMK \sim riangle POM$ (c.g.c)

* $\Rightarrow \widehat{PMK} = \widehat{POM}$

* Lại có $OM = OI = R$ nên $ riangle OMI$ cân tại $O$, suy ra $\widehat{OMI} = \widehat{OIM}$.

* Ta có $\widehat{OMI} + \widehat{PMK} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{OIM} + \widehat{POM} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{OIM} + \widehat{POQ} = 90^{\circ}$.

* Mà $\widehat{PIE} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{OIM} + \widehat{PIO} = 90^{\circ}$ nên $O,I,Q$ thẳng hàng

c) Chứng minh $PQ.IK = PI.QK$

* Xét đường tròn $(O)$ có $I, D$ thuộc đường tròn.

* Ta có $\widehat{ODI} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

* $\Rightarrow OD \perp ID$ tại $D$

* $ riangle POE \sim riangle PIK$

* $\Rightarrow \dfrac{PI}{PO} = \dfrac{IK}{OE} \Rightarrow OE.PI = PO.IK \Leftrightarrow 2R.PI=PO.IK$ (1)

* Ta có $\widehat{DIP} = 90^{\circ}$, ta chứng minh $\widehat{IDQ} = 90^{\circ}$.

* Ta có $\widehat{IDQ} = \widehat{IDQ} = \widehat{QDI}$, xét $ riangle PIK \sim riangle POE$, $\dfrac{PI}{PO} = \dfrac{IK}{OE}$

* Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp $IQKD$

* $IK.DQ = ID.KQ+DQ.KI$

* Vì $OD = OQ = R$

* $\Rightarrow PQ.IK = PI.QK$