Giải hộ mình câu này với các bạn b) Tìm x, y nguyên biết: $\frac{2x-1}3=\frac2{y-2}$

Question

Accepted Answer

Để tìm x, y nguyên thỏa mãn $\frac{2x-1}{3}=\frac{2}{y-2}$, chúng ta sẽ làm như sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - Đối với phân thức $\frac{2x-1}{3}$, mẫu số là 3 nên luôn luôn khác 0.
   - Đối với phân thức $\frac{2}{y-2}$, mẫu số là $y - 2$ nên phải khác 0, tức là $y \neq 2$.

2. Phân tích và biến đổi biểu thức:
   - Ta có $\frac{2x-1}{3}=\frac{2}{y-2}$.
   - Nhân cả hai vế với 3(y - 2) để loại bỏ mẫu số:
     $$
     (2x - 1)(y - 2) = 2 \times 3
     $$
     $$
     (2x - 1)(y - 2) = 6
     $$

3. Xét các trường hợp để tìm x và y:
   - Ta xét các cặp số nguyên (a, b) sao cho $a \times b = 6$:
     + $a = 1$, $b = 6$
     + $a = -1$, $b = -6$
     + $a = 2$, $b = 3$
     + $a = -2$, $b = -3$
     + $a = 3$, $b = 2$
     + $a = -3$, $b = -2$
     + $a = 6$, $b = 1$
     + $a = -6$, $b = -1$

- Thử lần lượt các cặp số này vào phương trình $(2x - 1)(y - 2) = 6$:

+ Nếu $2x - 1 = 1$ và $y - 2 = 6$:
       $$
       2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1
       $$
       $$
       y - 2 = 6 \implies y = 8
       $$
       Vậy $x = 1$ và $y = 8$.

+ Nếu $2x - 1 = -1$ và $y - 2 = -6$:
       $$
       2x - 1 = -1 \implies 2x = 0 \implies x = 0
       $$
       $$
       y - 2 = -6 \implies y = -4
       $$
       Vậy $x = 0$ và $y = -4$.

+ Nếu $2x - 1 = 2$ và $y - 2 = 3$:
       $$
       2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}\text{ (loại vì x phải là số nguyên)}
       $$

+ Nếu $2x - 1 = -2$ và $y - 2 = -3$:
       $$
       2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}\text{ (loại vì x phải là số nguyên)}
       $$

+ Nếu $2x - 1 = 3$ và $y - 2 = 2$:
       $$
       2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2
       $$
       $$
       y - 2 = 2 \implies y = 4
       $$
       Vậy $x = 2$ và $y = 4$.

+ Nếu $2x - 1 = -3$ và $y - 2 = -2$:
       $$
       2x - 1 = -3 \implies 2x = -2 \implies x = -1
       $$
       $$
       y - 2 = -2 \implies y = 0
       $$
       Vậy $x = -1$ và $y = 0$.

+ Nếu $2x - 1 = 6$ và $y - 2 = 1$:
       $$
       2x - 1 = 6 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}\text{ (loại vì x phải là số nguyên)}
       $$

+ Nếu $2x - 1 = -6$ và $y - 2 = -1$:
       $$
       2x - 1 = -6 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}\text{ (loại vì x phải là số nguyên)}
       $$

4. Kết luận:
   - Các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình là:
     $$
     (x, y) = (1, 8), (0, -4), (2, 4), (-1, 0)
     $$

Đáp số: $(1, 8)$, $(0, -4)$, $(2, 4)$, $(-1, 0)$.