Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài II (2 điểm). Cho hai biểu thức $P=\frac{\sqrt x-6}{\sqrt x}$ và $Q=\frac{6-8\sqrt x}{x-9}+\frac2{\sqrt x+3}-\frac{\sqrt x}{3-\sqrt x}$ với $x0,~x
e9$,1) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=25.$,2) Rút gọn biểu thức Q .,3) Chứng tỏ rằng không có giá trị nguyên của x để biểu thức $T=P.$ Q đạt giá trị nguyên,dương.

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Bài II (2 điểm). Cho hai biểu thức $P=\frac{\sqrt x-6}{\sqrt x}$ và $Q=\frac{6-8\sqrt x}{x-9}+\frac2{\sqrt x+3}-\frac{\sqrt x}{3-\sqrt x}$ với $x>0,~x
e9$,1) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=25.$,2) Rút gọn biểu thức Q .,3) Chứng tỏ rằng không có giá trị nguyên của x để biểu thức $T=P.$ Q đạt giá trị nguyên,dương.

Accepted Answer

Bài II
1) Tính giá trị của biểu thức P khi $x=25:$

Thay $x=25$ vào biểu thức $P,$ ta được:

$P=\frac{\sqrt{25}-6}{\sqrt{25}}=\frac{5-6}{5}=-\frac{1}{5}$

2) Rút gọn biểu thức $Q:$

$Q=\frac{6-8\sqrt{x}}{x-9}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}}{3-\sqrt{x}}$

$=\frac{6-8\sqrt{x}}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}+\frac{2(3-\sqrt{x})}{(3+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})}+\frac{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}$

$=\frac{6-8\sqrt{x}+6-2\sqrt{x}+3\sqrt{x}+x}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}$

$=\frac{x-9\sqrt{x}+12}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}$

$=\frac{(3-\sqrt{x})(4-\sqrt{x})}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})}$

$=\frac{4-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}$

3) Ta có:

$T=P.Q=\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}}.\frac{4-\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-6)(4-\sqrt{x})}{\sqrt{x}(3+\sqrt{x})}$

$=\frac{-x+10\sqrt{x}-24}{x+3\sqrt{x}}$

$=\frac{-(x+3\sqrt{x})+13\sqrt{x}-24}{x+3\sqrt{x}}$

$=13.\frac{\sqrt{x}-2}{x+3\sqrt{x}}-1$

Giả sử $T$ nhận giá trị nguyên dương, ta có:

$\frac{\sqrt{x}-2}{x+3\sqrt{x}}=\frac{1}{13}+\frac{1}{13}.k$ (với $k$ là số tự nhiên)

$\frac{\sqrt{x}-2}{x+3\sqrt{x}}=\frac{1+k}{13}$

$13(\sqrt{x}-2)=(1+k)(x+3\sqrt{x})$

$13\sqrt{x}-26=x+3\sqrt{x}+kx+3k\sqrt{x}$

$(10-3k)\sqrt{x}=x+26+kx$

Vì vế trái là số lẻ nên vế phải cũng phải là số lẻ.

Suy ra: $k$ là số lẻ.

Mặt khác, $(10-3k)$ là số chẵn nên $\sqrt{x}$ phải là số chẵn.

Vậy $x$ là số chẵn.

Ta có: $10-3k>0$

Suy ra: $k<\frac{10}{3}$

Vì $k$ là số lẻ nên $k=1$ hoặc $k=3.$

- Nếu $k=1$ thì ta có:

$7\sqrt{x}=x+27+x$

$x-7\sqrt{x}+27=0$ (loại vì $x>0)$

- Nếu $k=3$ thì ta có:

$x-7\sqrt{x}+27=0$

$(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-9)=0$

$\sqrt{x}=3$ hoặc $\sqrt{x}=9$

$x=9$ hoặc $x=81$ (loại vì $x=81)$

Vậy $x=9.$

Nhưng $x=9$ thì $T$ không xác định.

Do đó không có giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $T$ đạt giá trị nguyên dương.