Giải hộ mình câu này với các bạn Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C và D,(D thuộc cung AC, D khác A). Hai tia AD, BC cắt nhau tại E, AC và BD cắt,nhau tại F.,a) Chứng minh tứ giác CEDF nội tiếp.,b) Gọi giao điểm của EF và AB là G, CD cắt AB tại H. Chứng minh rằng:,$ an\angle ABF=\frac{DF}{DE}$ và $HA.DG=HD.AG.$,c) Tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt BD và AC lần lượt tại M và N.,Chứng minh ba điểm H, M, N thẳng hàng.

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C và D,(D thuộc cung AC, D khác A). Hai tia AD, BC cắt nhau tại E, AC và BD cắt,nhau tại F.,a) Chứng minh tứ giác CEDF nội tiếp.,b) Gọi giao điểm của EF và AB là G, CD cắt AB tại H. Chứng minh rằng:,$	an\angle ABF=\frac{DF}{DE}$ và $HA.DG=HD.AG.$,c) Tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt BD và AC lần lượt tại M và N.,Chứng minh ba điểm H, M, N thẳng hàng.

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{CDA}=\widehat{CBA}$ (cùng chắn cung BC)
$\widehat{CDA}+\widehat{DCE}=180^{\circ}$ (tổng hai góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{CBA}+\widehat{DCE}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{EBC}+\widehat{ECD}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tứ giác CEDF nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°)
b) Ta có $\widehat{ABF}=\widehat{ACF}$ (cùng chắn cung AF)
$\Rightarrow 	an\angle ABF=	an\angle ACF=\frac{AF}{CF}$
Mặt khác, ta có $\widehat{CAF}=\widehat{EDF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CF)
$\widehat{ACF}=\widehat{DEF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
$\Rightarrow 	riangle ACF$ đồng dạng $	riangle EDF$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{AF}{CF}=\frac{DF}{DE}$
$\Rightarrow 	an\angle ABF=\frac{DF}{DE}$
Ta có $\widehat{HAD}=\widehat{HBD}$ (cùng chắn cung HD)
$\Rightarrow 	riangle HAD$ đồng dạng $	riangle HBD$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{HA}{HD}=\frac{HD}{HB}$
$\Rightarrow HA.HB=HD^{2}$ (1)
Ta có $\widehat{GAD}=\widehat{GBD}$ (cùng chắn cung GD)
$\Rightarrow 	riangle GAD$ đồng dạng $	riangle GBD$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{GA}{GD}=\frac{GD}{GB}$
$\Rightarrow GA.GB=GD^{2}$ (2)
Lấy (1) chia cho (2) ta được:
$\frac{HA.HB}{GA.GB}=\frac{HD^{2}}{GD^{2}}$
$\Rightarrow \frac{HA}{GA}=\frac{HD^{2}}{GD^{2}}$ (vì HB = GB)
$\Rightarrow HA.GD^{2}=HD^{2}.GA$
$\Rightarrow HA.GD=HD.GA$
c) Ta có $\widehat{MAD}=\widehat{BAD}$ (tia MA là tiếp tuyến của nửa đường tròn)
$\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ (cùng chắn cung AD)
$\Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{BCD}$
$\Rightarrow \widehat{MAD}+\widehat{ADC}=180^{\circ}$ (tổng hai góc kề bù)
$\Rightarrow \widehat{BCD}+\widehat{ADC}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tứ giác ADCM nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°)
$\Rightarrow \widehat{CMD}=\widehat{CAD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Tương tự, ta có tứ giác BDCN nội tiếp nên $\widehat{CND}=\widehat{CBD}$
Ta có $\widehat{CAD}=\widehat{CBD}$ (cùng chắn cung CD)
$\Rightarrow \widehat{CMD}=\widehat{CND}$
$\Rightarrow$ Tứ giác CMDN nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
$\Rightarrow \widehat{DMN}=\widehat{DCN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DN)
Mà $\widehat{DCN}=\widehat{DCH}$ (cùng bằng góc $\widehat{DCB}$)
$\Rightarrow \widehat{DMN}=\widehat{DCH}$
$\Rightarrow MN//CH$ (hai góc so le trong bằng nhau)
$\Rightarrow$ Ba điểm H, M, N thẳng hàng.