giúp mình với ạ cảm ơn nhé Hình học 12 - Chương 5 - Phương pháp tọa độ trong không gian - Bài tập theo chương trình mới 2025 KNTTVCS,Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu $(S):~(x+3)^2+y^2+(z-2)^2=16$ có tâm I và bán kính,R . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?,A. Điểm $M(-1;0;3)$ nằm trong mặt cầu (S), với $M(-1;0;3).$,B. Bán kính mặt cầu (S) là $R=4.$,C. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(-3;0;2).$,D. Bán kính mặt cầu (S) là $R=16.$,Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm $M(2;0;2)$ và mặt cầu,$(S):~x^2+(y+2)^2+(z-2)^2=8.$ Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?,A. Điểm $M(2;0;2)$ thuộc mặt cầu (S) .,B. Bán kính mặt cầu (S) là $R=2\sqrt2.$,C. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là. $I(0;-2;2).$,D. Bán kính mặt cầu (S) là $R=8.$,Câu 20. Trong không gian Oxyz , mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=20.$ Các mệnh đề sau đây,đúng hay sai?,A. Bán kính mặt cầu (S) là 20.,B. Bán kính mặt cầu (S) là $2\sqrt5.$,C. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(-1;2;-4).$,D. Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(1;-2;4).$,Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các phương trình sau:,$(S_1):~x^2+y^2+z^2+x-2y+4z-3=0,~(S_2):~2x^2+2y^2+2z^2-x-y-z=0$,$(S_3):~2x^2+2y^2+2z^2+4x+8y+6z+3=0,~(S_4):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z+10=0.$,Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?,$A.~(S_1)$ là phương trình của một mặt cầu.,$B.~(S_2)$ là phương trình của một mặt cầu.,$C.~(S_3)$ không phải là phương trình của một mặt cầu.,$D.~(S_4)$ không phải là phương trình của một mặt cầu.,Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các phương trình sau:,$(S_1):x^2+y^2+z^2-2x=0,(S_2):x^2+y^2-z^2+2x-y+1=0,(S_3):2x^2+2y^2=(x+y)^2-z^2+2x-1,$,$(S_4):(x+y)^2=2xy-z^2-1.$

Question

Accepted Answer

Câu 18.
Để kiểm tra các mệnh đề, ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề dựa trên phương trình của mặt cầu $(S): (x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 16$.

Mệnh đề A:
Điểm $M(-1;0;3)$ nằm trong mặt cầu $(S)$.

Ta thay tọa độ của điểm $M$ vào phương trình mặt cầu để kiểm tra:
$$
(x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = (-1+3)^2 + 0^2 + (3-2)^2 = 2^2 + 0 + 1^2 = 4 + 0 + 1 = 5
$$
Vì $5 < 16$, nên điểm $M(-1;0;3)$ nằm trong mặt cầu $(S)$. Mệnh đề này là đúng.

Mệnh đề B:
Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=4$.

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $R$ là bán kính. So sánh với phương trình $(S): (x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 16$, ta thấy $R^2 = 16$, suy ra $R = 4$. Mệnh đề này là đúng.

Mệnh đề C:
Tọa độ tâm mặt cầu $(S)$ là $I(-3;0;2)$.

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a,b,c)$ là tọa độ tâm mặt cầu. So sánh với phương trình $(S): (x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 16$, ta thấy tâm mặt cầu là $I(-3,0,2)$. Mệnh đề này là đúng.

Mệnh đề D:
Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=16$.

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $R$ là bán kính. So sánh với phương trình $(S): (x+3)^2 + y^2 + (z-2)^2 = 16$, ta thấy $R^2 = 16$, suy ra $R = 4$. Mệnh đề này là sai.

Kết luận:
- Mệnh đề A: Đúng
- Mệnh đề B: Đúng
- Mệnh đề C: Đúng
- Mệnh đề D: Sai

Câu 19.
Để kiểm tra các mệnh đề, ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề dựa trên phương trình của mặt cầu $(S): x^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 8$.

Mệnh đề A: Điểm $M(2;0;2)$ thuộc mặt cầu (S).

Thay tọa độ của điểm $M(2;0;2)$ vào phương trình mặt cầu:
$$ x^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 8 $$
$$ 2^2 + (0 + 2)^2 + (2 - 2)^2 = 8 $$
$$ 4 + 4 + 0 = 8 $$
$$ 8 = 8 $$

Vậy điểm $M(2;0;2)$ thuộc mặt cầu (S). Mệnh đề này là đúng.

Mệnh đề B: Bán kính mặt cầu (S) là $R=2\sqrt{2}$.

Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn là $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính.

So sánh với phương trình $(S): x^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 8$, ta thấy:
$$ R^2 = 8 $$
$$ R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$

Vậy bán kính mặt cầu (S) là $R = 2\sqrt{2}$. Mệnh đề này là đúng.

Mệnh đề C: Tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(0; -2; 2)$.

Từ phương trình $(S): x^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 8$, ta nhận thấy rằng tâm của mặt cầu là $(0, -2, 2)$.

Vậy tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(0; -2; 2)$. Mệnh đề này là đúng.

Mệnh đề D: Bán kính mặt cầu (S) là $R=8$.

Như đã tính ở mệnh đề B, bán kính mặt cầu là $R = 2\sqrt{2}$, không phải là 8.

Vậy mệnh đề này là sai.

Kết luận:
- Mệnh đề A: Đúng
- Mệnh đề B: Đúng
- Mệnh đề C: Đúng
- Mệnh đề D: Sai

Câu 20.
Ta xét phương trình mặt cầu $(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=20.$

So sánh phương trình này với phương trình tổng quát của mặt cầu $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2,$ ta nhận thấy:

- Tâm của mặt cầu (S) là điểm $I(a,b,c)$ với $a=1, b=-2, c=4$. Do đó, tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(1,-2,4)$.

- Bán kính của mặt cầu (S) là $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Vậy:
- Mệnh đề A sai vì bán kính mặt cầu (S) không phải là 20 mà là $2\sqrt{5}$.
- Mệnh đề B đúng vì bán kính mặt cầu (S) là $2\sqrt{5}$.
- Mệnh đề C sai vì tọa độ tâm mặt cầu (S) không phải là $I(-1,2,-4)$ mà là $I(1,-2,4)$.
- Mệnh đề D đúng vì tọa độ tâm mặt cầu (S) là $I(1,-2,4)$.

Đáp án: B và D.

Câu 21.
Để kiểm tra xem mỗi phương trình có phải là phương trình của một mặt cầu hay không, ta sẽ hoàn thành bình phương cho mỗi phương trình.

A. $(S_1):~x^2 + y^2 + z^2 + x - 2y + 4z - 3 = 0$

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến từng biến lại và hoàn thành bình phương:

$$ x^2 + x + y^2 - 2y + z^2 + 4z = 3 $$

$$ (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 = 3 $$

$$ (x + \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 3 + \frac{1}{4} + 1 + 4 $$

$$ (x + \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = \frac{25}{4} $$

Phương trình này có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, do đó $(S_1)$ là phương trình của một mặt cầu.

B. $(S_2):~2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - x - y - z = 0$

Chia cả hai vế cho 2:

$$ x^2 + y^2 + z^2 - \frac{x}{2} - \frac{y}{2} - \frac{z}{2} = 0 $$

Nhóm các hạng tử liên quan đến từng biến lại và hoàn thành bình phương:

$$ x^2 - \frac{x}{2} + y^2 - \frac{y}{2} + z^2 - \frac{z}{2} = 0 $$

$$ (x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + (y - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} + (z - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} = 0 $$

$$ (x - \frac{1}{4})^2 + (y - \frac{1}{4})^2 + (z - \frac{1}{4})^2 = \frac{3}{16} $$

Phương trình này có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, do đó $(S_2)$ là phương trình của một mặt cầu.

C. $(S_3):~2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 4x + 8y + 6z + 3 = 0$

Chia cả hai vế cho 2:

$$ x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y + 3z + \frac{3}{2} = 0 $$

Nhóm các hạng tử liên quan đến từng biến lại và hoàn thành bình phương:

$$ x^2 + 2x + y^2 + 4y + z^2 + 3z = -\frac{3}{2} $$

$$ (x + 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} $$

$$ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + \frac{3}{2})^2 = -\frac{3}{2} + 1 + 4 + \frac{9}{4} $$

$$ (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + \frac{3}{2})^2 = \frac{15}{4} $$

Phương trình này có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, do đó $(S_3)$ là phương trình của một mặt cầu.

D. $(S_4):~x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 10 = 0$

Nhóm các hạng tử liên quan đến từng biến lại và hoàn thành bình phương:

$$ x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 4z = -10 $$

$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 2)^2 - 4 = -10 $$

$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = -10 + 1 + 4 + 4 $$

$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = -1 $$

Phương trình này không có dạng $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ vì bán kính vuông (R^2) phải là số dương, do đó $(S_4)$ không phải là phương trình của một mặt cầu.

Kết luận:
A. Đúng
B. Đúng
C. Sai
D. Đúng

Câu 22.
Để lập luận từng bước về các phương trình mặt cầu $(S_1)$, $(S_2)$, $(S_3)$ và $(S_4)$ trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta sẽ lần lượt biến đổi chúng về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu và xác định tâm và bán kính của mỗi mặt cầu.

Phương trình $(S_1): x^2 + y^2 + z^2 - 2x = 0$

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$:
$$ x^2 - 2x + y^2 + z^2 = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x - 1)^2 - 1 + y^2 + z^2 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 1 $$

Phương trình này có dạng chuẩn của mặt cầu:
$$ (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 1 $$

Tâm của mặt cầu là $(1, 0, 0)$ và bán kính là $1$.

Phương trình $(S_2): x^2 + y^2 - z^2 + 2x - y + 1 = 0$

Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$:
$$ x^2 + 2x + y^2 - y - z^2 + 1 = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x + 1)^2 - 1 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - z^2 + 1 = 0 $$
$$ (x + 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - z^2 - \frac{1}{4} = 0 $$
$$ (x + 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 - z^2 = \frac{1}{4} $$

Phương trình này không có dạng chuẩn của mặt cầu vì có cả $z^2$ âm. Do đó, $(S_2)$ không phải là mặt cầu.

Phương trình $(S_3): 2x^2 + 2y^2 = (x + y)^2 - z^2 + 2x - 1$

Biến đổi phương trình:
$$ 2x^2 + 2y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2 + 2x - 1 $$
$$ x^2 + y^2 - 2xy + z^2 - 2x + 1 = 0 $$
$$ (x - y)^2 + z^2 - 2x + 1 = 0 $$

Hoàn thành bình phương:
$$ (x - y)^2 + z^2 - 2x + 1 = 0 $$

Phương trình này không có dạng chuẩn của mặt cầu vì có $(x - y)^2$. Do đó, $(S_3)$ không phải là mặt cầu.

Phương trình $(S_4): (x + y)^2 = 2xy - z^2 - 1$

Biến đổi phương trình:
$$ x^2 + 2xy + y^2 = 2xy - z^2 - 1 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 1 = 0 $$

Phương trình này không có dạng chuẩn của mặt cầu vì tổng các bình phương không thể bằng $-1$. Do đó, $(S_4)$ không phải là mặt cầu.

Kết luận

- Phương trình $(S_1)$ là phương trình của mặt cầu với tâm $(1, 0, 0)$ và bán kính $1$.
- Phương trình $(S_2)$, $(S_3)$ và $(S_4)$ không phải là phương trình của mặt cầu.