giải chi tiết Câu 22.1.(ĐMH 2025) Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có,7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng.,Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng,từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I,sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).,Câu 22.2. Một nhà máy có hai phân xưởng I và II tương ứng làm ra 40% và 60% sản phẩm của nhà máy,Biết rằng tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là 1% và 2%. Chọn ngẫu nhiên,một sản phẩm của nhà máy thì thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc phân,xưởng I.,Câu 22.3.Hiện nay, nước ta đang trong quá trình tinh gọn bộ máy nhà nước và thực hiện nghị quyết,không tổ chức công an cấp huyện. Do vậy, trong đợt điều động cán bộ công an từ huyện về,công tác tại cơ sở hoặc công tác tại công an tỉnh, phòng tổ chức cán bộ nhận thấy rằng: Có,60% cán bộ có nguyện vọng về công tác tại cơ sở là các xã vùng sâu vùng xa, số còn lại,nguyện vọng về công tác tại công an tỉnh.,+ Trong số cán bộ có nguyện vọng về công tác tại cơ sở thì 70% có trình độ đại học và 30%,có trình độ trung cấp.,+ Trong số cán bộ có nguyện vọng về công an tỉnh thì 80% có trình độ đại học và 20% có,trình độ trung cấp.,Tuy nhiên, năng lực công tác cũng là một yếu tố quan trọng. Dựa trên hồ sơ đánh giá năng lực:,+ Trong số cán bộ có nguyện vọng về cơ sở thì tỷ lệ cán bộ được đánh giá có năng lực "Tốt",trở lên với trình độ đại học là 60% và trình độ trung cấp là 30%.,+ Trong số cán bộ có nguyện vọng về công tác tại công an tinh thì tỷ lệ được đánh giá là có,năng lực "Tốt" trở lên với trình độ đại học là 85% và với trình độ trung cấp là 25%.,Chọn ngẫu nhiên một cán bộ công an. Tính xác suất để cán bộ này vừa có trình độ đại học, vừa,được đánh giá có năng lực "Tốt" và có nguyện vọng về công tác tại cơ sở là các xã vùng sâu,vùng xa (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm),Câu 22.4.Có 10 học sinh làm bài kiểm tra xác suất thống kê, trong đó có 2 học sinh giỏi (trả lời được,100% các câu hỏi), 3 học sinh khá (trả lời được 80% các câu hỏi), 5 học sinh trung bình (trả lời,được 50% các câu hỏi). Bài kiểm tra có 4 câu hỏi được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi. Giáo viên,chọn ngẫu nhiên một bài làm của học sinh để chấm điểm. Xác suất bài làm đó trả lời được cả 4,câu hỏi là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?,Câu 22.5.Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen; hộp II có 6 viên bi màu,trắng và 4 viên bi màu đen. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên,đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II. Sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II. Lấy,ra ngẫu nhiên một viên bi, giả sử viên bi được lấy ra là viên bi màu trắng. Tính xác suất viên bi,màu trắng đó thuộc hộp I (Kết quả làm tròn 2 chữ số thập phân).

Question

Accepted Answer

Câu 22.1.
Gọi A là biến cố “Chọn được quả bóng màu đỏ từ hộp I”

Gọi B là biến cố “Chọn được quả bóng màu đỏ từ hộp II”

Gọi C là biến cố “Chọn được quả bóng chuyển từ hộp I sang”

Ta có:

P(A) = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$

P($\overline{A}$) = $\frac{2}{5}$

P(C|A) = $\frac{1}{9}$

P(C|$\overline{A}$) = $\frac{1}{10}$

P(B) = P(A).P(C|A) + P($\overline{A}$).P(C|$\overline{A}$)

= $\frac{3}{5}$ × $\frac{1}{9}$ + $\frac{2}{5}$ × $\frac{1}{10}$

= $\frac{4}{25}$

Vậy xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ là $\frac{4}{25}$ = 0,16

Câu 22.2.
Gọi A là biến cố "sản phẩm chọn ra là phế phẩm"
Gọi B là biến cố "sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng I"
Ta có:
P(A) = 0,01 × 0,4 + 0,02 × 0,6 = 0,016
P(B|A) = $\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ = $\frac{0,01 \times 0,4}{0,016}$ = 0,25

Câu 22.3.
Gọi $ A $ là sự kiện "Chọn ngẫu nhiên một cán bộ công an có trình độ đại học, được đánh giá có năng lực "Tốt" và có nguyện vọng về công tác tại cơ sở là các xã vùng sâu vùng xa".
Xác suất để chọn ngẫu nhiên một cán bộ công an có trình độ đại học và có nguyện vọng về công tác tại cơ sở là các xã vùng sâu vùng xa là:
$$ P(A) = 0,6 \times 0,7 = 0,42 $$
Xác suất để chọn ngẫu nhiên một cán bộ công an vừa có trình độ đại học, vừa được đánh giá có năng lực "Tốt" và có nguyện vọng về công tác tại cơ sở là các xã vùng sâu vùng xa là:
$$ P(A) = 0,42 \times 0,6 = 0,252 \approx 0,25 $$

Đáp số: 0,25

Câu 22.4.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất của từng trường hợp học sinh giỏi, khá, và trung bình trả lời đúng tất cả 4 câu hỏi, sau đó cộng lại theo tỷ lệ tương ứng của mỗi nhóm học sinh.

1. Xác suất học sinh giỏi trả lời đúng cả 4 câu hỏi:
   - Học sinh giỏi trả lời được 100% các câu hỏi, do đó xác suất trả lời đúng cả 4 câu hỏi là 1.

2. Xác suất học sinh khá trả lời đúng cả 4 câu hỏi:
   - Học sinh khá trả lời được 80% các câu hỏi, tức là xác suất trả lời đúng một câu hỏi là 0.8.
   - Xác suất trả lời đúng cả 4 câu hỏi là:
     $$
     0.8^4 = 0.4096
     $$

3. Xác suất học sinh trung bình trả lời đúng cả 4 câu hỏi:
   - Học sinh trung bình trả lời được 50% các câu hỏi, tức là xác suất trả lời đúng một câu hỏi là 0.5.
   - Xác suất trả lời đúng cả 4 câu hỏi là:
     $$
     0.5^4 = 0.0625
     $$

4. Tính tổng xác suất:
   - Số lượng học sinh giỏi là 2, khá là 3, và trung bình là 5.
   - Tỷ lệ của mỗi nhóm học sinh trong tổng số học sinh là:
     $$
     \text{Tỷ lệ học sinh giỏi} = \frac{2}{10} = 0.2
     $$
     $$
     \text{Tỷ lệ học sinh khá} = \frac{3}{10} = 0.3
     $$
     $$
     \text{Tỷ lệ học sinh trung bình} = \frac{5}{10} = 0.5
     $$

- Tổng xác suất là:
     $$
     P(\text{Trả lời đúng cả 4 câu hỏi}) = 0.2 \times 1 + 0.3 \times 0.4096 + 0.5 \times 0.0625
     $$
     $$
     = 0.2 + 0.12288 + 0.03125
     $$
     $$
     = 0.35413
     $$

5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm:
   $$
   0.35413 \approx 0.35
   $$

Vậy xác suất bài làm đó trả lời được cả 4 câu hỏi là 0.35 hoặc 35%.

Câu 22.5.
Gọi $ A $ là biến cố "Lấy ra một viên bi từ hộp II và viên bi đó là bi trắng".

Gọi $ B $ là biến cố "Lấy ra một viên bi từ hộp II và viên bi đó là bi trắng và viên bi đó thuộc hộp I".

Ta có:

- $ P(A) $ là xác suất của biến cố $ A $.

- $ P(B) $ là xác suất của biến cố $ B $.

- $ P(B|A) $ là xác suất của biến cố $ B $ khi biết biến cố $ A $ đã xảy ra.

Theo đề bài, ta cần tính xác suất $ P(B|A) $.

Áp dụng công thức xác suất điều kiện, ta có:

$$ P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} $$

Trước tiên, ta tính $ P(A) $:

- Số viên bi trong hộp I ban đầu là 10 viên (5 trắng + 5 đen).
- Số viên bi trong hộp II ban đầu là 10 viên (6 trắng + 4 đen).
- Khi lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II, ta có các trường hợp sau:
  - Cả hai viên bi đều trắng: $ \frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} $
  - Một viên bi trắng và một viên bi đen: $ \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{5}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} $
  - Cả hai viên bi đều đen: $ \frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} $

Sau khi bỏ vào hộp II, ta có các trường hợp sau:

1. Hộp II có 8 viên bi trắng và 4 viên bi đen (cả hai viên bi đều trắng):
   - Xác suất lấy ra một viên bi trắng từ hộp II: $ \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $

2. Hộp II có 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen (một viên bi trắng và một viên bi đen):
   - Xác suất lấy ra một viên bi trắng từ hộp II: $ \frac{7}{12} $

3. Hộp II có 6 viên bi trắng và 6 viên bi đen (cả hai viên bi đều đen):
   - Xác suất lấy ra một viên bi trắng từ hộp II: $ \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

Tổng xác suất lấy ra một viên bi trắng từ hộp II là:

$$ P(A) = \left( \frac{2}{9} \times \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{5}{9} \times \frac{7}{12} \right) + \left( \frac{2}{9} \times \frac{1}{2} \right) $$
$$ P(A) = \frac{4}{27} + \frac{35}{108} + \frac{1}{9} $$
$$ P(A) = \frac{16}{108} + \frac{35}{108} + \frac{12}{108} $$
$$ P(A) = \frac{63}{108} = \frac{7}{12} $$

Tiếp theo, ta tính $ P(B) $:

- Biến cố $ B $ là lấy ra một viên bi trắng từ hộp II và viên bi đó thuộc hộp I.
- Xác suất lấy ra một viên bi trắng từ hộp I và sau đó lấy ra một viên bi trắng từ hộp II:
  - Cả hai viên bi đều trắng: $ \frac{2}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{27} $
  - Một viên bi trắng và một viên bi đen: $ \frac{5}{9} \times \frac{7}{12} = \frac{35}{108} $

Tổng xác suất lấy ra một viên bi trắng từ hộp II và viên bi đó thuộc hộp I là:

$$ P(B) = \frac{4}{27} + \frac{35}{108} $$
$$ P(B) = \frac{16}{108} + \frac{35}{108} $$
$$ P(B) = \frac{51}{108} = \frac{17}{36} $$

Cuối cùng, ta tính xác suất điều kiện $ P(B|A) $:

$$ P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{\frac{17}{36}}{\frac{7}{12}} = \frac{17}{36} \times \frac{12}{7} = \frac{17}{21} \approx 0.81 $$

Vậy xác suất viên bi màu trắng đó thuộc hộp I là khoảng 0.81.